Questão 1. Dada a matriz A=\left(\begin{array}{ll}7 & 0 \\\\ 0 & 5\end{array}\right).
Mostre usando a definição que a matriz A é uma matriz definida positiva.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}7 & 0\\[4pt] 0 & 5\end{pmatrix}.
A pergunta é: mostrar, usando a definição, que a matriz A é definida positiva.
Informações relevantes fornecidas:
Os elementos da diagonal de A são 7 e 5.
A matriz é 2\times2.]
Passo 2
Vou escrever a definição que vou usar (explicitando o que cada coisa significa): uma matriz real A é chamada definida positiva se, para todo vetor não nulo x\in\mathbb{R}^n, tivermos
x^{T} A x > 0.
Aqui:
x é um vetor coluna genérico x=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt] x_2\end{pmatrix} com x_1,x_2\in\mathbb{R} e x\neq 0 significa que pelo menos uma entre x_1 e x_2 é diferente de zero.
x^{T} é a transposta de x, ou seja x^{T} = \begin{pmatrix}x_1 & x_2\end{pmatrix}.
O produto x^{T} A x é um número real chamado forma quadrática associada a A.]
Passo 3
Vou calcular x^{T} A x passo a passo para um vetor genérico x=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt] x_2\end{pmatrix}.
Primeiro calculo A x:
A x = \begin{pmatrix}7 & 0\\[4pt] 0 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\[4pt] x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7x_1\\[4pt] 5x_2\end{pmatrix}.
Agora calculo x^{T}(A x):
x^{T} A x = \begin{pmatrix}x_1 & x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}7x_1\\[4pt] 5x_2\end{pmatrix} = x_1\cdot(7x_1)+x_2\cdot(5x_2).
Portanto:
x^{T} A x = 7x_1^{2}+5x_2^{2}.]
Passo 4
Analisando a expressão \;7x_1^{2}+5x_2^{2}:
Para qualquer x_1,x_2\in\mathbb{R} temos x_1^{2}\ge 0 e x_2^{2}\ge 0.
Os coeficientes 7 e 5 são positivos.
Logo 7x_1^{2}\ge 0 e 5x_2^{2}\ge 0, e a soma é \ge 0.
Se x\neq 0 então pelo menos um entre x_1 e x_2 é diferente de zero, o que faz com que pelo menos um dos termos 7x_1^{2} ou 5x_2^{2} seja estritamente positivo.
Portanto, para todo x\neq 0 vale
x^{T} A x = 7x_1^{2}+5x_2^{2} > 0.
Passo 5
Como mostramos que para todo vetor não nulo x\in\mathbb{R}^2 temos x^{T} A x>0, pela definição concluímos que A é definida positiva.