Determine as funções f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} cujas transformadas de Fourier são dadas
\hat{f}(\omega)=\frac{1}{(1+i \omega)^{2}}.

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Fourier
\hat{f}(\omega)=\frac{1}{(1+i\omega)^{2}}
e pede para determinar a(s) função(ões) f:\mathbb{R}\to\mathbb{C} que a têm como transformada.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A transformada de Fourier fornecida é \hat{f}(\omega)=\dfrac{1}{(1+i\omega)^{2}}.
  • Não foi dada outra normalização diferente, então usarei a convenção padrão: \hat{g}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} g(t)e^{-i\omega t}\,dt, \qquad g(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{g}(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega.
  • A pergunta é única: encontrar f(t) tal que sua transformada seja \hat{f}(\omega).

Passo 2

Lembrete e par de transformadas básico que vamos usar (aula rápida):
  • Definição da função degrau unitário (Heaviside): u(t)=\begin{cases}1,&t\ge0,\\\ 0,&t<0.\end{cases}
  • Para \Re(a)>0 vale a integral conhecida \int_{0}^{\infty} e^{-a t}e^{-i\omega t}\,dt=\frac{1}{a+i\omega}.Tomando a=1 obtemos a transformada \int_{0}^{\infty} e^{-t}e^{-i\omega t}\,dt=\frac{1}{1+i\omega}.Ou seja, com a nossa convenção de transformada, \mathcal{F}\{e^{-t}u(t)\}(\omega)=\frac{1}{1+i\omega}.
Explicando por que isso é útil: a função \dfrac{1}{(1+i\omega)^2} é simplesmente o quadrado de \dfrac{1}{1+i\omega}. Então podemos relacioná-la com a transformada de e^{-t}u(t).

Passo 3

Escolha do método: convém usar a propriedade que relaciona produto no domínio da frequência com convolução no domínio do tempo. A propriedade (teorema da convolução) na nossa convenção é:
  • Se \hat{g}(\omega)=\mathcal{F}\{g\}(\omega) e \hat{h}(\omega)=\mathcal{F}\{h\}(\omega), então \mathcal{F}\{g*h\}(\omega)=\hat{g}(\omega)\,\hat{h}(\omega),onde (g*h)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} g(\tau)h(t-\tau)\,d\tau.
    Aplicação aqui: escrevemos
\hat{f}(\omega)=\left(\frac{1}{1+i\omega}\right)^2=\hat{h}(\omega)\cdot\hat{h}(\omega),
onde \hat{h}(\omega)=\dfrac{1}{1+i\omega}=\mathcal{F}\{h\}(\omega) com h(t)=e^{-t}u(t). Pelo teorema da convolução, a transformada inversa de \hat{f} é a convolução de h consigo mesma:
f(t)=(h*h)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.
Esta é a abordagem mais direta e elementar: evita integro-račo direta com polinômios de \omega e usa pares conhecidos.

Passo 4

Calcular a convolução h*h passo a passo. Lembrando h(t)=e^{-t}u(t), temos
(h*h)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\tau}u(\tau)\; e^{-(t-\tau)}u(t-\tau)\,d\tau.
Simplificando o integrando:
e^{-\tau}e^{-(t-\tau)}=e^{-t},
logo
(h*h)(t)=e^{-t}\int_{-\infty}^{\infty} u(\tau)\,u(t-\tau)\,d\tau.
Agora analisar os fatores u(\tau) e u(t-\tau):
  • u(\tau)=1 só para \tau\ge0.
  • u(t-\tau)=1 só para t-\tau\ge0, isto é, \tau\le t.
    Portanto a condição para o integrando ser 1 é 0\le\tau\le t. Há dois casos:
  • Se t<0: não existe \tau com 0\le\tau\le t, então \int u(\tau)u(t-\tau)\,d\tau=0.
  • Se t\ge0: a integral é \int_{0}^{t} d\tau = t.
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(h*h)(t)=\begin{cases} 0,&t<0,\\\ e^{-t}\,t,&t\ge0. \end{cases}
Em notação compacta:
(h*h)(t)=t e^{-t}u(t).

Passo 5

Concluir a identidade procurada e checar por integração direta (verificação):
  • Pelo passo anterior f(t)=(h*h)(t)=t e^{-t}u(t).
  • Verificação direta: calcule a transformada de Fourier de f(t)=t e^{-t}u(t). Para \Re(1)>0, \mathcal{F}\{t e^{-t}u(t)\}(\omega)=\int_{0}^{\infty} t e^{-t} e^{-i\omega t}\,dt =\int_{0}^{\infty} t e^{-(1+i\omega)t}\,dt.Usando a integral conhecida (ou por partes): para \Re(a)>0, \int_{0}^{\infty} t e^{-a t}\,dt=\frac{1}{a^{2}}.Aqui a=1+i\omega, portanto \mathcal{F}\{t e^{-t}u(t)\}(\omega)=\frac{1}{(1+i\omega)^{2}},que coincide com \hat{f}(\omega). Assim a função encontrada está correta.
    Observação sobre unicidade: a transformada de Fourier é injetora em espaços de funções razoáveis (por exemplo distribuições temperadas), então a inversa é única; portanto não há outras funções usuais com essa transformada além de t e^{-t}u(t) (a menos de considerações de conjuntos de medida zero).

Resposta

f(t)=t e^{-t}u(t)

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