Determine as funções
cujas transformadas de Fourier são dadas
.
Passo 1
O enunciado dá a transformada de Fourier
e pede para determinar a(s) função(ões)
que a têm como transformada.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A transformada de Fourier fornecida é
. - Não foi dada outra normalização diferente, então usarei a convenção padrão:
- A pergunta é única: encontrar
tal que sua transformada seja .
Passo 2
Lembrete e par de transformadas básico que vamos usar (aula rápida):
- Definição da função degrau unitário (Heaviside):
- Para
vale a integral conhecida Tomando obtemos a transformada Ou seja, com a nossa convenção de transformada,
Explicando por que isso é útil: a função
é simplesmente o quadrado de
. Então podemos relacioná-la com a transformada de
.
Passo 3
Escolha do método: convém usar a propriedade que relaciona produto no domínio da frequência com convolução no domínio do tempo. A propriedade (teorema da convolução) na nossa convenção é:
- Se
e , então onde .
Aplicação aqui: escrevemos
onde
com
. Pelo teorema da convolução, a transformada inversa de
é a convolução de
consigo mesma:
Esta é a abordagem mais direta e elementar: evita integro-račo direta com polinômios de
e usa pares conhecidos.
Passo 4
Calcular a convolução
passo a passo. Lembrando
, temos
Simplificando o integrando:
logo
Agora analisar os fatores
e
:
-
só para . -
só para , isto é, .
Portanto a condição para o integrando seré . Há dois casos: - Se
: não existe com , então . - Se
: a integral é
Logo
Em notação compacta:
Passo 5
Concluir a identidade procurada e checar por integração direta (verificação):
- Pelo passo anterior
. - Verificação direta: calcule a transformada de Fourier de
. Para , Usando a integral conhecida (ou por partes): para , Aqui , portanto que coincide com . Assim a função encontrada está correta.
Observação sobre unicidade: a transformada de Fourier é injetora em espaços de funções razoáveis (por exemplo distribuições temperadas), então a inversa é única; portanto não há outras funções usuais com essa transformada além de(a menos de considerações de conjuntos de medida zero).