Questão 8.

Dada a matriz,
A=\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\\\ 1 & 1 \end{array}\right],
encontre uma matriz X \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}), tal que A X=I_{2}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar X\in M_{2\times2}(\mathbb{R}) tal que
A\,X = I_{2},
onde
A = \begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix}
e
I_{2} = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Isso é equivalente a calcular a matriz inversa de A, pois X = A^{-1}. Para isso, vamos usar a fórmula clássica
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\;\mathrm{adj}(A),
onde \det(A) é o determinante e \mathrm{adj}(A) é a adjunta (matriz de cofatores transposta).

Passo 2

Calcular o determinante de A. Para
A = \begin{pmatrix}a & b\c & d\end{pmatrix},
temos \det(A)=ad - bc. Aqui a=2, b=1, c=1, d=1, logo
\det(A) = 2\cdot1 - 1\cdot1 = 2 - 1 = 1.

Passo 3

Construir a matriz de cofatores de A. Os cofatores são:
C_{11} = +\det\begin{pmatrix}1\end{pmatrix} = 1,\quad C_{12} = -\det\begin{pmatrix}1\end{pmatrix} = -1,
C_{21} = -\det\begin{pmatrix}1\end{pmatrix} = -1,\quad C_{22} = +\det\begin{pmatrix}2\end{pmatrix} = 2.
Então a matriz de cofatores é
\begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ -1 & 2 \end{pmatrix}.
A adjunta \mathrm{adj}(A) é a transposta dessa matriz de cofatores, mas como ela já é simétrica, continua
\mathrm{adj}(A) = \begin{pmatrix}1 & -1\\\ -1 & 2\end{pmatrix}.

Passo 4

Aplicar a fórmula do inverso:
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A) = \frac{1}{1}\begin{pmatrix}1 & -1\\\ -1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -1\\\ -1 & 2\end{pmatrix}.
Logo X = A^{-1} = \begin{pmatrix}1 & -1\\\ -1 & 2\end{pmatrix}.

Passo 5

Verificar rapidamente que A\,X = I_{2}:
\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -1\\\ -1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot1 + 1\cdot(-1) & 2\cdot(-1) + 1\cdot2\\\\ 1\cdot1 + 1\cdot(-1) & 1\cdot(-1) + 1\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Está confirmado.

Resposta

X = \begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ -1 & 2 \end{pmatrix}.

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