Questão 9.

Suponha que temos um sistema de duas equações em duas variáveis.
(a) O que você pode dizer sobre o conjunto solução deste sistema?
(b) Dê uma interpretação geométrica para a sua resposta do item (a).

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema de duas equações em duas variáveis reais, digamos
\begin{cases} F(x,y)=0,\\\ G(x,y)=0, \end{cases}
e pede em (a) uma descrição do conjunto solução e em (b) a interpretação geométrica dessa descrição. Vamos usar o fato de que cada equação define uma curva em \mathbb{R}^2 e que a solução do sistema é a interseção dessas curvas.

Passo 2

(a) O conjunto solução é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid F(x,y)=0\text{ e }G(x,y)=0\}.
Em geral ele pode ser
  • vazio (nenhum ponto comum);
  • finito, tipicamente um ou poucos pontos;
  • infinito, se as curvas coincidirem em algum segmento ou em toda a curva.

Passo 3

(b) Geometricamente, cada equação F(x,y)=0 e G(x,y)=0 representa uma curva no plano. Resolver o sistema equivale a achar onde essas duas curvas se cruzam. Assim:
  • se não se cruzam, não há solução;
  • se se cruzam em um ponto, a solução é única;
  • se uma curva “sobe em cima” da outra em certo trecho, há infinitas soluções ao longo desse trecho.

Resposta

(a) O conjunto solução é \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid F(x,y)=0\text{ e }G(x,y)=0\}, que pode ser vazio, finito (por exemplo um ponto) ou infinito (por exemplo uma curva inteira).
(b) Geometricamente, corresponde à interseção das duas curvas definidas por F(x,y)=0 e G(x,y)=0 no plano cartesiano.

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