Questão 7.

Determine todas as matrizes que comutam com a matriz
A=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],
ou seja, todas as matrizes X \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) tais que A X=X A.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as matrizes X\in M_{2\times2}(\mathbb R) que comutam com
A=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix},
isto é, satisfazem AX = XA. Vamos usar álgebra de matrizes 2\times 2 e resolver o sistema de equações resultante.

Passo 2

Considere a matriz genérica
X = \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},
com a,b,c,d\in\mathbb R. Primeiro calculamos
AX =\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a+c & b+d \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}
e
XA =\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1\\\ 0 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a & a \\\ c & c\end{pmatrix}.

Passo 3

Igualando AX = XA\) elemento a elemento, obtemos o sistema \[\begin{cases} a + c = a,\\\ b + d = a,\\\\ 0 = c,\\\\ 0 = c. \end{cases}
As duas últimas equações dão imediatamente (,c=0]. A primeira fica trivial e a segunda impõe
b + d = a.

Passo 4

Das condições obtidas temos
c = 0, \quad b = a - d,
enquanto a e d ficam livres em \mathbb R.

Passo 5

Logo, todas as matrizes que comutam com A são as de forma
X = \begin{pmatrix}a & a - d\\[6pt]0 & d\end{pmatrix},
onde a,d\in\mathbb R.]

Resposta

Todas as matrizes X com
X=\begin{pmatrix}a & a - d\\\ 0 & d\end{pmatrix}, \quad a,d\in\mathbb R,
comutam com A.

Exercícios relacionados