Questão 7.
Determine todas as matrizes que comutam com a matriz
ou seja, todas as matrizes
tais que
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as matrizes
que comutam com
isto é, satisfazem
. Vamos usar álgebra de matrizes
e resolver o sistema de equações resultante.
Passo 2
Considere a matriz genérica
com
. Primeiro calculamos
e
Passo 3
Igualando
As duas últimas equações dão imediatamente (,c=0]. A primeira fica trivial e a segunda impõe
Passo 4
Das condições obtidas temos
enquanto
e
ficam livres em
.
Passo 5
Logo, todas as matrizes que comutam com
são as de forma
onde
.]
Resposta
Todas as matrizes
com
comutam com
.