Questão 1. Dada a sequência
definida por
, qual é o valor de
?
A Esta sequência converge para
.
A Esta sequência converge para
Passo 1
Vamos entender o enunciado: Temos uma sequência definida por $ a_{n} = (1+n) \ln(1+n) - n \ln(n) $. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} $. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e conhecimentos sobre limites.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão de $ a_{n} $. Podemos reescrever a sequência da seguinte forma:
Aqui, distribuímos o $ (1+n) $ multiplicando pelo logaritmo.
Passo 3
Agora, vamos focar na diferença $ \ln(n+1) - \ln(n) $. Sabemos que:
Passo 4
Para grandes valores de $ n $, podemos aproximar $ \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) $ usando a expansão de Taylor para $ \ln(1+x) $ próximo de $ x = 0 $:
Passo 5
Substituímos essa aproximação na expressão de $ a_{n} $:
Simplificando:
Passo 6
Observamos que, à medida que $ n $ tende ao infinito:
- $ \frac{1}{2n} $ tende a 0.
- $ \ln(n+1) $ tende ao infinito, já que o logaritmo continua crescendo sem limite à medida que seu argumento aumenta.
Portanto, a expressão simplificada se comporta como:
E como $ \ln(n+1) $ tende ao infinito, concluímos que $ a_{n} $ também tende ao infinito.
Resposta
A sequência $ a_{n} $ diverge para $ +\infty $ quando $ n $ tende ao infinito.