Questão 1. Dada a sequência (an) definida por an=(1+n) ln (1+n)-n ln (n), qual é o valor de lim n infty an ?
A Esta sequência converge para ln 2.

Passo 1

Vamos entender o enunciado: Temos uma sequência definida por $ a_{n} = (1+n) \ln(1+n) - n \ln(n) $. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} $. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e conhecimentos sobre limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão de $ a_{n} $. Podemos reescrever a sequência da seguinte forma:
an
Aqui, distribuímos o $ (1+n) $ multiplicando pelo logaritmo.

Passo 3

Agora, vamos focar na diferença $ \ln(n+1) - \ln(n) $. Sabemos que:
ln(n+1) - ln(n)

Passo 4

Para grandes valores de $ n $, podemos aproximar $ \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) $ usando a expansão de Taylor para $ \ln(1+x) $ próximo de $ x = 0 $:
n

Passo 5

Substituímos essa aproximação na expressão de $ a_{n} $:
an
Simplificando:
an approx n ( 1n - 12n^2 ) + ln(n+1)

Passo 6

Observamos que, à medida que $ n $ tende ao infinito:
  • $ \frac{1}{2n} $ tende a 0.
  • $ \ln(n+1) $ tende ao infinito, já que o logaritmo continua crescendo sem limite à medida que seu argumento aumenta.
Portanto, a expressão simplificada se comporta como:
n
E como $ \ln(n+1) $ tende ao infinito, concluímos que $ a_{n} $ também tende ao infinito.

Resposta

A sequência $ a_{n} $ diverge para $ +\infty $ quando $ n $ tende ao infinito.

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