Questão 5. Dada a sequência
definida por
, qual é o va.or de
?
Passo 1
O enunciado dá a sequência
definida por
e pede o valor de
. Dados relevantes: a expressão explícita de
para cada
e a constante
(base dos logaritmos naturais). Não há outras informações na figura necessárias para resolver o problema.
Passo 2
Vamos simplificar a forma da sequência para ver padrões óbvios. Note que
Portanto podemos escrever
Esta reescrita é útil porque a expressão
é uma sequência clássica que converge para
. Vou agora explicar por que isso ocorre.
Passo 3
Provar que
de forma elementar: use o logaritmo natural. Defina
Para
vale a identidade
e, para
, temos
. Integrando isso de
a
obtemos as desigualdades
Agora coloque
. Isso dá
Multiplicando tudo por
resulta
O lado esquerdo
tende a
quando
, e o lado direito é constante
. Pelo teorema do confronto (squeeze), segue que
Aplicando a exponencial (função contínua) obtemos
Pronto — essa é a justificativa clássica e elementar sem usar séries.
Passo 4
Com o resultado do passo anterior, tomamos potência
:
Ou seja, o numerador da nossa sequência converge para a constante
.
Passo 5
O denominador é
. Como
, a sequência
diverge para
quando
. Agora considere
. Sabendo que o numerador tende para uma constante finita
e o denominador tende para
, a razão tende para
. Formalmente: existe
tal que, para
grande,
; então
e como
, pelo teorema do confronto segue
.