Questão 5. Dada a sequência \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty} definida por a_{n}=\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{3 n}}{e^{n}}, qual é o va.or de \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} ?

Passo 1

O enunciado dá a sequência \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty} definida por
a_{n}=\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{3n}}{e^{n}}
e pede o valor de \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_{n}. Dados relevantes: a expressão explícita de a_{n} para cada n\in\mathbb{N} e a constante e (base dos logaritmos naturais). Não há outras informações na figura necessárias para resolver o problema.

Passo 2

Vamos simplificar a forma da sequência para ver padrões óbvios. Note que
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{3n}=\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^{3}.
Portanto podemos escrever
a_{n}=\frac{\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^{3}}{e^{n}}.
Esta reescrita é útil porque a expressão \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} é uma sequência clássica que converge para e. Vou agora explicar por que isso ocorre.

Passo 3

Provar que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e de forma elementar: use o logaritmo natural. Defina
L_{n}= \ln\!\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)=n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right).
Para x>-1 vale a identidade
\ln(1+x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t}\,dt,
e, para t\in[0,x], temos \displaystyle \frac{1}{1+x}\le\frac{1}{1+t}\le 1. Integrando isso de 0 a x obtemos as desigualdades
\frac{x}{1+x}\le \ln(1+x)\le x.
Agora coloque x=\frac{1}{n}. Isso dá
\frac{1/n}{1+1/n}\le \ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)\le \frac{1}{n}.
Multiplicando tudo por n resulta
\frac{n}{n+1}\le n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)\le 1.
O lado esquerdo \frac{n}{n+1} tende a 1 quando n\to\infty, e o lado direito é constante 1. Pelo teorema do confronto (squeeze), segue que
\lim_{n\to\infty} n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)=1.
Aplicando a exponencial (função contínua) obtemos
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e^{1}=e.
Pronto — essa é a justificativa clássica e elementar sem usar séries.

Passo 4

Com o resultado do passo anterior, tomamos potência 3:
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{3n}=\left(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^{3}=e^{3}.
Ou seja, o numerador da nossa sequência converge para a constante e^{3}.

Passo 5

O denominador é \,e^{n}. Como e>1, a sequência e^{n} diverge para +\infty quando n\to\infty. Agora considere a_{n}=\dfrac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{3n}}{e^{n}}. Sabendo que o numerador tende para uma constante finita e^{3} e o denominador tende para +\infty, a razão tende para 0. Formalmente: existe M>0 tal que, para n grande, \left(1+\frac{1}{n}\right)^{3n}\le M; então
0\le a_{n}=\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{3n}}{e^{n}}\le \frac{M}{e^{n}},
e como \lim_{n\to\infty}\frac{M}{e^{n}}=0, pelo teorema do confronto segue \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

Resposta

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