Questão 9. Dada a sequência ( a_{n} ) definida por a_{n}=\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2 n}}{e^{n}}, qual é o valor de \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} ?
D Esta sequência converge para 0.
B Esta sequência diverge para \infty.
C Esta sequência converge para e.
D A sequência a_{n} converge para e^{2}.
E Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2 n}}{e^{n}}
e pergunta qual é o valor de \lim_{n\to\infty} a_{n}. Informação relevante que temos no enunciado: a fórmula explicita a_{n} para todo n. A pergunta é única: encontrar o limite quando n tende a infinito.

Passo 2

Um fato importante e muito usado: a definição clássica da constante e é por
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e.
Vou explicar por que esse limite aparece aqui: a expressão \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} é a sequência que converge para e. Não preciso provar rigorosamente essa convergência agora (é um resultado padrão), mas é bom guardar na caixinha: \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\to e.

Passo 3

Reescrevemos o numerador para aproveitar o fato acima:
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}=\left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^{2}.
Como \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\to e, aplicando a propriedade de limites (o limite da potência é a potência do limite quando tudo convergente), temos
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}=e^{2}.

Passo 4

Agora observe o denominador \;e^{n}. Como e>1, a sequência \;e^{n} cresce sem limite quando n\to\infty; formalmente,
\lim_{n\to\infty}e^{n}=+\infty.
Isto é óbvio porque potências de um número maior que 1 tendem ao infinito.

Passo 5

Temos então um numerador que converge para uma constante finita e^{2} e um denominador que cresce para +\infty. Intuitivamente, uma quantidade que tende a um número fixo dividido por algo que vai para infinito tende a 0. Para dar um argumento simples e rigoroso: para todo n suficientemente grande o numerador é próxima de e^{2}, logo
0\le a_{n}=\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}}{e^{n}}\le\frac{e^{2}+1}{e^{n}}
(para n grande a constante +1 é só para garantir uma cota superior fixa); o lado direito tende a 0 porque e^{n}\to\infty. Portanto a_{n}\to 0.

Passo 6

Vou dar uma demonstração alternativa, curta e elegante, usando logaritmo e uma desigualdade simples, para fixar a ideia: use \ln.
\ln a_{n}=2n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)-n.
Sabemos que, para x>-1, \ln(1+x)\le x (isso vem do fato de que a reta y=x está acima do \ln por concavidade). Aplicando com x=\frac{1}{n} obtemos
2n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)\le 2n\cdot\frac{1}{n}=2.
Logo
\ln a_{n}\le 2-n.
Como 2-n\to -\infty quando n\to\infty, temos \ln a_{n}\to -\infty, o que implica a_{n}\to 0. Essa via é direta e evita manipular limites separados.

Passo 7

Concluímos que a sequência a_{n} converge para 0. Força aí — é um resultado simples quando lembramos que \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} converge para e e que dividir por e^{n} (que vai ao infinito) manda tudo para zero.

Resposta

Esta sequência converge para 0.

Exercícios relacionados