Questão 9. Dada a sequência (
) definida por
, qual é o valor de
?
D Esta sequência converge para 0.
B Esta sequência diverge para
.
C Esta sequência converge para
.
D A sequência
converge para
.
E Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
D Esta sequência converge para 0.
B Esta sequência diverge para
C Esta sequência converge para
D A sequência
E Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pergunta qual é o valor de
. Informação relevante que temos no enunciado: a fórmula explicita
para todo
. A pergunta é única: encontrar o limite quando
tende a infinito.
Passo 2
Um fato importante e muito usado: a definição clássica da constante
é por
Vou explicar por que esse limite aparece aqui: a expressão
é a sequência que converge para
. Não preciso provar rigorosamente essa convergência agora (é um resultado padrão), mas é bom guardar na caixinha:
.
Passo 3
Reescrevemos o numerador para aproveitar o fato acima:
Como
, aplicando a propriedade de limites (o limite da potência é a potência do limite quando tudo convergente), temos
Passo 4
Agora observe o denominador
. Como
, a sequência
cresce sem limite quando
; formalmente,
Isto é óbvio porque potências de um número maior que
tendem ao infinito.
Passo 5
Temos então um numerador que converge para uma constante finita
e um denominador que cresce para
. Intuitivamente, uma quantidade que tende a um número fixo dividido por algo que vai para infinito tende a
. Para dar um argumento simples e rigoroso: para todo
suficientemente grande o numerador é próxima de
, logo
(para
grande a constante
é só para garantir uma cota superior fixa); o lado direito tende a
porque
. Portanto
.
Passo 6
Vou dar uma demonstração alternativa, curta e elegante, usando logaritmo e uma desigualdade simples, para fixar a ideia: use
.
Sabemos que, para
,
(isso vem do fato de que a reta
está acima do
por concavidade). Aplicando com
obtemos
Logo
Como
quando
, temos
, o que implica
. Essa via é direta e evita manipular limites separados.
Passo 7
Concluímos que a sequência
converge para
. Força aí — é um resultado simples quando lembramos que
converge para
e que dividir por
(que vai ao infinito) manda tudo para zero.
Resposta
Esta sequência converge para 0.