Questão 6. Sejam S_{1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{6^{n^{2}}} e S_{2}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{7^{n^{2}}}{(n!)^{2}}. Assinale a alternativa correta:
A Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
B S_{1} e S_{2} divergem.
C S_{1} diverge e S_{2} converge.
S S_{1} converge e S_{2} diverge.
E S_{1} e S_{2} convergem.

Passo 1

O enunciado dá duas séries infinitas e pede que a gente escolha a alternativa correta sobre convergência/divergência:
S_{1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(n!)^{2}}{6^{n^{2}}}
S_{2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{7^{n^{2}}}{(n!)^{2}}
As alternativas (transcritas) são:
A Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
B S_{1} e S_{2} divergem.
C S_{1} diverge e S_{2} converge.
S S_{1} converge e S_{2} diverge.
E S_{1} e S_{2} convergem.
O que precisamos decidir: para cada série, ela converge ou diverge?

Passo 2

Vamos usar o Teste da raiz (root test), que é muito prático quando aparecem potências do tipo a^{n} ou a^{n^{2}}.
Enunciado do Teste da raiz:
\text{Se }a_n\text{ é o }n\text{-ésimo termo de uma série } \sum a_n,\text{ defina } \rho=\limsup_{n\to\infty}\left|a_n\right|^{1/n}.ééé
  • Se \rho<1, a série converge absolutamente.
  • Se \rho>1, a série diverge.
  • Se \rho=1, o teste é inconclusivo.
O que o teste faz na prática: calculamos \left|a_n\right|^{1/n} e verificamos o comportamento quando n\to\infty. Se esse valor tende a zero (ou algo <1), ótimo; se tende a infinito (ou >1), diverge.
Vou aplicar isso a cada série. Sempre que eu usar algum fato sobre crescimento de n!, eu explico rapidamente.

Passo 3

Aplicando o Teste da raiz a S_{1}. Tome o termo geral
a_n=\frac{(n!)^{2}}{6^{n^{2}}}.
Calculemos a raiz n-ésima:
\left|a_n\right|^{1/n}=\frac{(n!)^{2/n}}{6^{n}}.
Agora precisamos entender o comportamento de (n!)^{2/n} quando n\to\infty. Um fato simples (fácil de justificar sem Stirling) é a desigualdade
n! \le n^n,
porque n! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots n e cada fator é no máximo n. Dessa desigualdade segue
(n!)^{2/n} \le (n^n)^{2/n} = n^2.
Então
\left|a_n\right|^{1/n} \le \frac{n^2}{6^{n}}.
Agora note que 6^{n} cresce exponencialmente enquanto n^{2} cresce polinomialmente; portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{6^{n}}=0.
Pelo encadeamento, isso implica
\lim_{n\to\infty}\left|a_n\right|^{1/n}=0.
Como \rho=0<1, o Teste da raiz garante que S_{1} converge absolutamente (logo converge). (Se quiser, a mesma conclusão pode ser obtida com uma versão mais refinada usando a fórmula de Stirling, mas a desigualdade acima já é suficiente e elementar.)

Passo 4

Resumo parcial e intuição: para S_{1}, o denominador tem 6^{n^{2}} — isso é gigantesco (cresce como exponencial em n^{2}) e vence o crescimento de (n!)^{2}. Por isso os termos decaem muito rápido e a série converge.

Passo 5

Agora S_{2}. O termo geral é
b_n=\frac{7^{n^{2}}}{(n!)^{2}}.
Calculemos a raiz n-ésima:
\left|b_n\right|^{1/n}=\frac{7^{n}}{(n!)^{2/n}}.
Para decidir o comportamento, observe dois fatos sobre n!:
  • Um limite assintótico conhecido (fórmula de Stirling) é n!\sim\sqrt{2\pi n}\,(n/e)^{n}. Isso implica, em particular, que
(n!)^{2/n}\sim\left((n/e)^{n}\right)^{2/n}=(n/e)^{2},
ou seja, (n!)^{2/n} cresce como n^{2} multiplicado por constantes; portanto é polinomial em n.
  • Uma forma elementar de expressar isso (sem usar todo o enunciado de Stirling) é a desigualdade
n! \ge \left(\frac{n}{e}\right)^{n}
para n grande (essa desigualdade decorre de comparações ou da aproximação de Stirling; serve como limite inferior simples). Assim
(n!)^{2/n} \ge \left(\frac{n}{e}\right)^{2}.
Usando essa desigualdade inferior temos
\left|b_n\right|^{1/n} \ge \frac{7^{n}}{(n/e)^{2}} = \frac{e^{2}}{n^{2}}\,7^{n}.
Agora \frac{e^{2}}{n^{2}} é polinomial decrescente enquanto 7^{n} cresce exponencialmente. Logo o produto \frac{e^{2}}{n^{2}}\,7^{n} tende a +\infty quando n\to\infty. Portanto
\lim_{n\to\infty}\left|b_n\right|^{1/n}=+\infty,
em particular \rho=+\infty>1. Pelo Teste da raiz, a série \sum b_n diverge.
Uma observação ainda mais direta: calculemos o logaritmo do termo para ver a ordem de grandeza:
\ln b_n = n^{2}\ln 7 - 2\ln(n!).
Usando a aproximação \ln(n!)\sim n\ln n - n, temos para grandes n:
\ln b_n \approx n^{2}\ln 7 - 2(n\ln n - n) = n^{2}\ln 7 - 2n\ln n + 2n.
O termo dominante é n^{2}\ln 7, que vence 2n\ln n; assim \ln b_n\to+\infty, então b_n\to+\infty. Portanto os termos não tendem a zero, e isso por si já basta para concluir que a série diverge (teste do termo geral). Ambas abordagens concordam: S_{2} diverge.

Passo 6

Conclusão final: S_{1} converge e S_{2} diverge. Isso corresponde à alternativa marcada por S no enunciado.

Resposta

S S_{1} converge e S_{2} diverge.

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