Questão 6. Sejam
e
. Assinale a alternativa correta:
A Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
B
e
divergem.
C
diverge e
converge.
S
converge e
diverge.
E
e
convergem.
B
C
S
E
Passo 1
O enunciado dá duas séries infinitas e pede que a gente escolha a alternativa correta sobre convergência/divergência:
As alternativas (transcritas) são:
A Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
B e
divergem.
C diverge e
converge.
S converge e
diverge.
E e
convergem.
A Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
B
C
S
E
O que precisamos decidir: para cada série, ela converge ou diverge?
Passo 2
Vamos usar o Teste da raiz (root test), que é muito prático quando aparecem potências do tipo
ou
.
Enunciado do Teste da raiz:
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
O que o teste faz na prática: calculamos
e verificamos o comportamento quando
. Se esse valor tende a zero (ou algo <1), ótimo; se tende a infinito (ou >1), diverge.
Vou aplicar isso a cada série. Sempre que eu usar algum fato sobre crescimento de
, eu explico rapidamente.
Passo 3
Aplicando o Teste da raiz a
. Tome o termo geral
Calculemos a raiz
-ésima:
Agora precisamos entender o comportamento de
quando
. Um fato simples (fácil de justificar sem Stirling) é a desigualdade
porque
e cada fator é no máximo
. Dessa desigualdade segue
Então
Agora note que
cresce exponencialmente enquanto
cresce polinomialmente; portanto
Pelo encadeamento, isso implica
Como
, o Teste da raiz garante que
converge absolutamente (logo converge). (Se quiser, a mesma conclusão pode ser obtida com uma versão mais refinada usando a fórmula de Stirling, mas a desigualdade acima já é suficiente e elementar.)
Passo 4
Resumo parcial e intuição: para
, o denominador tem
— isso é gigantesco (cresce como exponencial em
) e vence o crescimento de
. Por isso os termos decaem muito rápido e a série converge.
Passo 5
Agora
. O termo geral é
Calculemos a raiz
-ésima:
Para decidir o comportamento, observe dois fatos sobre
:
- Um limite assintótico conhecido (fórmula de Stirling) é
. Isso implica, em particular, que
ou seja,
cresce como
multiplicado por constantes; portanto é polinomial em
.
- Uma forma elementar de expressar isso (sem usar todo o enunciado de Stirling) é a desigualdade
para
grande (essa desigualdade decorre de comparações ou da aproximação de Stirling; serve como limite inferior simples). Assim
Usando essa desigualdade inferior temos
Agora
é polinomial decrescente enquanto
cresce exponencialmente. Logo o produto
tende a
quando
. Portanto
em particular
. Pelo Teste da raiz, a série
diverge.
Uma observação ainda mais direta: calculemos o logaritmo do termo para ver a ordem de grandeza:
Usando a aproximação
, temos para grandes
:
O termo dominante é
, que vence
; assim
, então
. Portanto os termos não tendem a zero, e isso por si já basta para concluir que a série diverge (teste do termo geral). Ambas abordagens concordam:
diverge.
Passo 6
Conclusão final:
converge e
diverge. Isso corresponde à alternativa marcada por S no enunciado.
Resposta
S
converge e
diverge.