( 2,0 pontos) Determine o intervalo de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n+1}

Passo 1

O enunciado dá a série de termos que dependem de x
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n+1}
e pergunta qual é o intervalo de valores de x para os quais essa série converge.
Informações relevantes fornecidas:
\text{termo geral } a_n(x)=\frac{x^{n}}{n+1},\qquad n=1,2,3,\dots
Não há outras condições explícitas; queremos determinar todos os x\in\mathbb{R} (ou complexos, se preferir) para os quais a soma converge.

Passo 2

Vamos encontrar primeiro o raio de convergência (ou seja, decidir para quais |x| a série converge) aplicando o teste da raiz. Vou explicar o teste e usá‑lo passo a passo.
Descrição do teste da raiz (forma que vamos usar): para uma série \sum b_n consideramos
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|b_n|}.
Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo. Aqui b_n=a_n(x)=\dfrac{x^n}{n+1}.
Calculemos \sqrt[n]{|b_n|}:
\sqrt[n]{\left|\frac{x^{n}}{n+1}\right|} =\sqrt[n]{|x|^{n}}\;\sqrt[n]{\frac{1}{n+1}} =|x|\;\left(\frac{1}{n+1}\right)^{1/n}.
Agora precisamos do limite (ou limsup) quando n\to\infty de \left(\dfrac{1}{n+1}\right)^{1/n}. Note que
\left(\frac{1}{n+1}\right)^{1/n}=\frac{1}{(n+1)^{1/n}}.
Usamos que (n+1)^{1/n}\to 1 quando n\to\infty. Uma justificativa rápida: tome logaritmo
\ln\big((n+1)^{1/n}\big)=\frac{\ln(n+1)}{n}\xrightarrow[n\to\infty]{}0,
portanto (n+1)^{1/n}\to e^{0}=1. Assim
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1}\right)^{1/n}=1.
Logo o \limsup da raiz é
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|b_n|}=|x|\cdot 1=|x|.
Pelo teste da raiz, a série converge absolutamente se |x|<1 e diverge se |x|>1. Portanto o raio de convergência é 1 e, por enquanto, sabemos que a série converge para todos os x tais que
-1<x<1.

Passo 3

Agora precisamos examinar os pontos extremos \,x=1 e \,x=-1, porque o teste da raiz foi inconclusivo quando |x|=1.
Caso \,x=1: o termo geral fica
a_n(1)=\frac{1^{n}}{n+1}=\frac{1}{n+1}.
A série torna‑se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}=\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k}.
Isso é a série harmônica a partir de k=2; sabemos que a série harmônica \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} diverge, e remover um número finito de termos (como o termo k=1) não muda isso. Portanto a série diverge em x=1.

Passo 4

Caso \,x=-1: o termo geral fica
a_n(-1)=\frac{(-1)^{n}}{n+1}.
A série é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+1}.
Esta é uma série alternada cujos termos em módulo são b_n=\dfrac{1}{n+1}. Vamos aplicar o teste de Leibniz (teste da série alternada):
Condições do teste de Leibniz para \sum (-1)^n b_n:
  1. b_n\ge 0 para todo n. Aqui b_n=\dfrac{1}{n+1}>0.
  2. b_{n+1}\le b_n (sequência monótona decrescente). Aqui \dfrac{1}{n+2}<\dfrac{1}{n+1}, logo é decrescente.
  3. b_n\to 0 quando n\to\infty. De fato \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n+1}=0.
Como todas as condições são satisfeitas, a série alternada converge (convergência condicional). Para reforçar: a série não converge absolutamente em x=-1, porque a série dos módulos é \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n+1} que, como vimos no passo anterior, diverge.

Passo 5

Conclusão combinando os resultados:
  • converge absolutamente para |x|<1;
  • diverge para x=1;
  • converge condicionalmente para x=-1.
Portanto o intervalo de convergência real é
[-1,\,1).

Resposta

[-1,\,1)

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