Não há outras condições explícitas; queremos determinar todos os x\in\mathbb{R} (ou complexos, se preferir) para os quais a soma converge.
Passo 2
Vamos encontrar primeiro o raio de convergência (ou seja, decidir para quais |x| a série converge) aplicando o teste da raiz. Vou explicar o teste e usá‑lo passo a passo.
Descrição do teste da raiz (forma que vamos usar): para uma série \sum b_n consideramos
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|b_n|}.
Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo. Aqui b_n=a_n(x)=\dfrac{x^n}{n+1}.
Pelo teste da raiz, a série converge absolutamente se |x|<1 e diverge se |x|>1. Portanto o raio de convergência é 1 e, por enquanto, sabemos que a série converge para todos os x tais que
-1<x<1.
Passo 3
Agora precisamos examinar os pontos extremos \,x=1 e \,x=-1, porque o teste da raiz foi inconclusivo quando |x|=1.
Isso é a série harmônica a partir de k=2; sabemos que a série harmônica \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} diverge, e remover um número finito de termos (como o termo k=1) não muda isso. Portanto a série diverge em x=1.
Passo 4
Caso \,x=-1: o termo geral fica
a_n(-1)=\frac{(-1)^{n}}{n+1}.
A série é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n+1}.
Esta é uma série alternada cujos termos em módulo são b_n=\dfrac{1}{n+1}. Vamos aplicar o teste de Leibniz (teste da série alternada):
Condições do teste de Leibniz para \sum (-1)^n b_n:
b_n\ge 0 para todo n. Aqui b_n=\dfrac{1}{n+1}>0.
b_{n+1}\le b_n (sequência monótona decrescente). Aqui \dfrac{1}{n+2}<\dfrac{1}{n+1}, logo é decrescente.
b_n\to 0 quando n\to\infty. De fato \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n+1}=0.
Como todas as condições são satisfeitas, a série alternada converge (convergência condicional). Para reforçar: a série não converge absolutamente em x=-1, porque a série dos módulos é \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n+1} que, como vimos no passo anterior, diverge.