Questão 1.
a) ( 0,5 \mathrm{pt} ) Enuncie o criério M de Weierstrass.
b) (1,5 \mathrm{pt}) Mostre que a série de funções \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{2 n-1}}{x^{2 n}+n^{5}} é uniformemente convergente em [0,1].
c) (1,0 pt) Se f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} é a função dada por f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{2 n-1}}{x^{2 n}+n^{5}}, calcule \int_{0}^{1} f(x) d x.

Passo 1

O enunciado tem três itens. Vou listar o que é pedido e os dados fornecidos, sem resolver nada ainda.
  • (a) Pede para enunciar o critério M de Weierstrass.
  • (b) Pede para mostrar que a série de funções
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{2n-1}}{x^{2n}+n^{5}}
é uniformemente convergente no intervalo [0,1].
  • (c) Define a função f:[0,1]\to\mathbb{R} por
f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{2n-1}}{x^{2n}+n^{5}}
e pede para calcular \displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A série de funções está definida para x\in[0,1].
  • O denominador de cada termo é x^{2n}+n^{5}, que para x\in[0,1] é sempre positivo (pois n^{5}>0).
  • Não há figura nem informação adicional necessária.

Passo 2

Enunciado do critério M de Weierstrass (resposta do item (a)) e explicação didática.
  • Enunciado: Seja \sum_{n=1}^{\infty} g_n(x) uma série de funções definidas em um conjunto A. Se existirem números reais não negativos M_n tais que, para todo x\in A,
|g_n(x)| \le M_n
e a série numérica \sum_{n=1}^{\infty} M_n converge, então a série de funções \sum_{n=1}^{\infty} g_n(x) converge uniformemente em A.
  • Explicação passo a passo: o critério dá uma condição prática — em vez de comparar a série função a função a função (o que pode ser complicado), procuramos uma sequência de constantes M_n que domine (ou seja, seja maior em módulo) cada termo em todo o domínio. Se a soma dessas constantes for finita, então a série original converge uniformemente. É um ‘domínio uniforme’ por números, por isso o nome M-test (M de majorante).

Passo 3

Aplicando o critério M de Weierstrass ao problema (parte (b)): obter um majorante M_n e mostrar que sua série converge.
  • Tomamos o termo geral
g_n(x)=\frac{x^{2n-1}}{x^{2n}+n^{5}},\qquad x\in[0,1].
  • Observação simples sobre o denominador: para todo x\in[0,1] temos x^{2n}\ge 0, então
x^{2n}+n^{5}\ge n^{5}.
Portanto o denominador é sempre maior ou igual a n^{5}.
  • Observação sobre o numerador: para todo x\in[0,1] e todo n\ge 1 temos 0\le x^{2n-1}\le 1. Isso porque x\le1 implica x^{k}\le1 para k\ge0, e em x=0 o numerador é zero.
  • Combinação das duas observações: para todo x\in[0,1],
\left|\frac{x^{2n-1}}{x^{2n}+n^{5}}\right| \le \frac{x^{2n-1}}{n^{5}} \le \frac{1}{n^{5}}.
Logo podemos escolher
M_n=\frac{1}{n^{5}}.

Passo 4

Verificar que a série \sum M_n converge e concluir uniformidade.
  • A série numérica \sum_{n=1}^{\infty} M_n é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{5}}.
Isto é uma série p (série de Riemann) com expoente p=5>1, e sabemos que séries do tipo \sum 1/n^{p} convergem quando p>1. Portanto \sum_{n=1}^{\infty} M_n converge.
  • Pelo critério M de Weierstrass (Passo 2), como |g_n(x)|\le M_n para todo x\in[0,1] e \sum M_n converge, a série \sum g_n(x) converge uniformemente em [0,1].
  • Observação extra útil para a prova do item (c): cada g_n é contínua em [0,1] porque o denominador x^{2n}+n^{5} nunca é zero e as potências são funções contínuas; a soma de uma série de funções contínuas que converge uniformemente é contínua. Isso nos permite integrar termo a termo (próximo passo).

Passo 5

Teorema que permite trocar soma e integral e justificativa prática.
  • Teorema (versão usada): Se g_n são funções contínuas em [a,b] e a série \sum g_n converge uniformemente em [a,b], então
\int_a^b \left(\sum_{n=1}^\infty g_n(x)\right) dx = \sum_{n=1}^\infty \left(\int_a^b g_n(x)\,dx\right),
ou seja, podemos trocar soma e integral.
  • Aplicação: como já mostramos que a série converge uniformemente em [0,1] e cada termo é contínuo, podemos escrever
\int_{0}^{1} f(x)\,dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{2n-1}}{x^{2n}+n^{5}}\,dx.

Passo 6

Cálculo da integral de cada termo individualmente (passo a passo da integração).
  • Vamos calcular
I_n=\int_{0}^{1} \frac{x^{2n-1}}{x^{2n}+n^{5}}\,dx.
  • Mudança de variável apropriada: seja
u=x^{2n}+n^{5}.
Então
du = 2n\,x^{2n-1}\,dx.
Isolando x^{2n-1}\,dx obtemos
x^{2n-1}\,dx = \frac{du}{2n}.
  • Limites: quando x=0 temos u=n^{5}. Quando x=1 temos u=1+n^{5}.
  • Substituindo na integral:
I_n=\int_{u=n^{5}}^{u=n^{5}+1} \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{2n} = \frac{1}{2n} \int_{n^{5}}^{n^{5}+1} \frac{du}{u}.
  • A integral de 1/u é o logaritmo natural:
I_n=\frac{1}{2n}\left[\ln u\right]_{u=n^{5}}^{u=n^{5}+1} = \frac{1}{2n}\left(\ln\big(n^{5}+1\big)-\ln\big(n^{5}\big)\right).
  • Podemos reescrever de forma compacta:
I_n=\frac{1}{2n}\ln\!\left(1+\frac{1}{n^{5}}\right).

Passo 7

Somando os termos e justificando a convergência da série resultante (parte (c)).
  • Assim
\int_{0}^{1} f(x)\,dx = \sum_{n=1}^{\infty} I_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n}\ln\!\left(1+\frac{1}{n^{5}}\right).
  • Convergência da série final: para n grande, \ln(1+n^{-5})\sim n^{-5}, então o termo geral se comporta como
\frac{1}{2n}\ln\!\left(1+\frac{1}{n^{5}}\right)\sim \frac{1}{2n}\cdot \frac{1}{n^{5}}=\frac{1}{2n^{6}}.
Como \sum 1/n^{6} converge, a série numérica acima converge absolutamente. Portanto a soma é um número finito e bem definida.

Passo 8

Comentário final de encorajamento (breve): fizemos tudo com etapas claras — escolha de majorante, aplicação do M-test, troca soma-integração e cálculo por substituição. Você consegue repetir isso na prova!

Resposta

(a) Seja \sum_{n=1}^{\infty} g_n(x) definida em A. Se existirem M_n\ge0 tais que |g_n(x)|\le M_n para todo x\in A e \sum_{n=1}^{\infty} M_n converge, então \sum_{n=1}^{\infty} g_n(x) converge uniformemente em A.
(b) A série é uniformemente convergente em [0,1] porque
\left|\frac{x^{2n-1}}{x^{2n}+n^{5}}\right|\le\frac{1}{n^{5}}
para todo x\in[0,1], e \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{5}} converge (p‑série com p=5>1); logo pelo critério M de Weierstrass há convergência uniforme.
(c) \displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n}\ln\!\left(1+\frac{1}{n^{5}}\right).

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