Questão 1.
a) ( 0,5 \mathrm{pt} ) Enuncie o criério M de Weierstrass.
b) (1,5 \mathrm{pt}) Mostre que a série de funções \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{2 n-1}}{x^{2 n}+n^{5}} é uniformemente convergente em [0,1].
c) (1,0 pt) Se f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} é a função dada por f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{2 n-1}}{x^{2 n}+n^{5}}, calcule \int_{0}^{1} f(x) d x.
Passo 1
O enunciado tem três itens. Vou listar o que é pedido e os dados fornecidos, sem resolver nada ainda.
(a) Pede para enunciar o critério M de Weierstrass.
e pede para calcular \displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx.
Informações relevantes dadas:
A série de funções está definida para x\in[0,1].
O denominador de cada termo é x^{2n}+n^{5}, que para x\in[0,1] é sempre positivo (pois n^{5}>0).
Não há figura nem informação adicional necessária.
Passo 2
Enunciado do critério M de Weierstrass (resposta do item (a)) e explicação didática.
Enunciado: Seja \sum_{n=1}^{\infty} g_n(x) uma série de funções definidas em um conjunto A. Se existirem números reais não negativos M_n tais que, para todo x\in A,
|g_n(x)| \le M_n
e a série numérica \sum_{n=1}^{\infty} M_n converge, então a série de funções \sum_{n=1}^{\infty} g_n(x) converge uniformemente em A.
Explicação passo a passo: o critério dá uma condição prática — em vez de comparar a série função a função a função (o que pode ser complicado), procuramos uma sequência de constantes M_n que domine (ou seja, seja maior em módulo) cada termo em todo o domínio. Se a soma dessas constantes for finita, então a série original converge uniformemente. É um ‘domínio uniforme’ por números, por isso o nome M-test (M de majorante).
Passo 3
Aplicando o critério M de Weierstrass ao problema (parte (b)): obter um majorante M_n e mostrar que sua série converge.
Observação simples sobre o denominador: para todo x\in[0,1] temos x^{2n}\ge 0, então
x^{2n}+n^{5}\ge n^{5}.
Portanto o denominador é sempre maior ou igual a n^{5}.
Observação sobre o numerador: para todo x\in[0,1] e todo n\ge 1 temos 0\le x^{2n-1}\le 1. Isso porque x\le1 implica x^{k}\le1 para k\ge0, e em x=0 o numerador é zero.
Combinação das duas observações: para todo x\in[0,1],
Verificar que a série \sum M_n converge e concluir uniformidade.
A série numérica \sum_{n=1}^{\infty} M_n é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{5}}.
Isto é uma série p (série de Riemann) com expoente p=5>1, e sabemos que séries do tipo \sum 1/n^{p} convergem quando p>1. Portanto \sum_{n=1}^{\infty} M_n converge.
Pelo critério M de Weierstrass (Passo 2), como |g_n(x)|\le M_n para todo x\in[0,1] e \sum M_n converge, a série \sum g_n(x) converge uniformemente em [0,1].
Observação extra útil para a prova do item (c): cada g_n é contínua em [0,1] porque o denominador x^{2n}+n^{5} nunca é zero e as potências são funções contínuas; a soma de uma série de funções contínuas que converge uniformemente é contínua. Isso nos permite integrar termo a termo (próximo passo).
Passo 5
Teorema que permite trocar soma e integral e justificativa prática.
Teorema (versão usada): Se g_n são funções contínuas em [a,b] e a série \sum g_n converge uniformemente em [a,b], então
Como \sum 1/n^{6} converge, a série numérica acima converge absolutamente. Portanto a soma é um número finito e bem definida.
Passo 8
Comentário final de encorajamento (breve): fizemos tudo com etapas claras — escolha de majorante, aplicação do M-test, troca soma-integração e cálculo por substituição. Você consegue repetir isso na prova!
Resposta
(a) Seja \sum_{n=1}^{\infty} g_n(x) definida em A. Se existirem M_n\ge0 tais que |g_n(x)|\le M_n para todo x\in A e \sum_{n=1}^{\infty} M_n converge, então \sum_{n=1}^{\infty} g_n(x) converge uniformemente em A.
(b) A série é uniformemente convergente em [0,1] porque