( 1,5 ponto) Sejam x, y, z três números reais distintus tais que x^2-x=y z, y^2- y=x z e z^2-z=x y.
(a) Verifique que x^3-x^2=y^3-y^2 e conclua que x^2+x y+y^2=x+y.
(b) Mostre que x^2+y^2+z^2=x+y+z e conclua que -1<x, y, z<1.

Passo 1

O enunciado dá três reais distintos x,y,z que satisfazem as equações
x^2-x = yz, y^2-y = xz, z^2-z = xy
Pede-se em (a) mostrar que
x^3-x^2=y^3-y^2 Longrightarrow x^2+xy+y^2=x+y,
e em (b) provar que
x^2+y^2+z^2=x+y+z e -1<x,y,z<1
O conteúdo envolvido será manipulação algébrica (multiplicação, soma e fatoração de polinômios) e um argumento de sinal para as desigualdades finais.

Passo 2

Para chegar em x^3-x^2=y^3-y^2, multiplicamos a primeira equação por x e a segunda por y:
x,(x^2-x)=x,yz Longrightarrow x^3-x^2=xyz,
y,(y^2-y)=y,xz Longrightarrow y^3-y^2=xyz
Isto mostra diretamente que
x^3-x^2=xyz=y^3-y^2
Agora, escrevemos
x^3-x^2 ;-;(y^3-y^2) = 0 Longrightarrow (x^3-y^3) - (x^2-y^2) = 0
Fatorando cada diferença:
(x-y)(x^2+xy+y^2) - (x-y)(x+y)=0 Longrightarrow (x-y)l(x^2+xy+y^2-x-yr)=0
Como xneq y, segue
x^2+xy+y^2=x+y

Passo 3

Para mostrar x^2+y^2+z^2=x+y+z, primeiro somamos as três equações iniciais:
(x^2-x)+(y^2-y)+(z^2-z) ;=;yz + xz + xy
Longrightarrow x^2+y^2+z^2 - (x+y+z) = xy+yz+zx tag1
Por outro lado, da Parte (a) aplicada ciclicamente a cada par temos
x^2+xy+y^2=x+y, y^2+yz+z^2=y+z, z^2+zx+x^2=z+x
Somando essas três igualdades:
2,(x^2+y^2+z^2) + (xy+yz+zx) ;=;2,(x+y+z) tag2
Agora substitua xy+yz+zx de (1) em (2):
2(x^2+y^2+z^2) + l[x^2+y^2+z^2 - (x+y+z)r] = 2(x+y+z)
Longrightarrow 3(x^2+y^2+z^2) - (x+y+z) = 2(x+y+z) Longrightarrow x^2+y^2+z^2=x+y+z

Passo 4

Para concluir que -1<x,y,z<1, use argumento por contradição. Suponha, por exemplo, que x>=1 ou x<=-1.
Então x(x-1)>=0, logo da equação x^2-x=yz segue yz>=0, isto é, y e z têm mesmo sinal.
Analogamente, de y^2-y=xz e z^2-z=xy conclui-se que todos os três têm o mesmo sinal.
Caso esse sinal seja negativo, a soma x+y+z seria negativa, mas x^2+y^2+z^2 é positiva, contradizendo
,x^2+y^2+z^2=x+y+z.
Caso o sinal seja positivo e x,y,z>=1, a única solução possível para
,x^2+y^2+z^2=x+y+z
seria x=y=z=1, o que fere a distinção entre os três.
Logo não é possível ter |x|>=1. Analogamente para y e z. Conclui-se
-1<x<1, -1<y<1, -1<z<1

Resposta

(a) x^3-x^2=y^3-y^2 implica ,x^2+xy+y^2=x+y.
(b) x^2+y^2+z^2=x+y+z e -1<x,y,z<1.

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