Verifique se y(x)=c1 e^3 x+c2 e^-x-2 x é uma família de soluções da EDO de segunda ordem
y^prime prime-2 y^prime-3 y=6 x+4
e, em caso positivo, encontre uma solução do PVI dado pelas condições iniciais y(0)=0 e y^prime(0)=6.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função $ y(x) = c_{1} e^{3 x} + c_{2} e^{-x} - 2 x $ é uma solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem dada por:
y(x) = c1 e^3 x + c2 e^-x - 2 x
Além disso, se for uma solução válida, precisamos encontrar uma solução específica que atenda às condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 6 $.
Para resolver isso, vamos precisar entender como substituir a função na EDO e verificar se a igualdade vale, e depois usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes $ c_1 $ e $ c_2 $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para verificar se uma função é solução de uma EDO, precisamos calcular suas primeiras e segundas derivadas e substituir na equação.
Para nossa função $ y(x) = c_{1} e^{3 x} + c_{2} e^{-x} - 2 x $:
  1. Primeira derivada ($ y’ $):
    y(x) = c1 e^3 x + c2 e^-x - 2 x
  2. Segunda derivada ($ y’’ $):
    y'

Passo 3

Agora, substituímos $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na EDO:
y
Substituindo:
y'
Vamos simplificar cada termo:
  1. Termo $ y’’ $:
    y''
  2. Termo $ -2 y’ $:
    y'' - 2 y' - 3 y = 6x + 4
  3. Termo $ -3 y $:
    (9 c1 e^3x + c2 e^-x) - 2 (3 c1 e^3x - c2 e^-x - 2) - 3 (c1 e^3 x + c2 e^-x - 2 x) = 6x + 4
Juntando tudo:
y''

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
  • Termos com $ e^{3x} $:
    e^3x
  • Termos com $ e^{-x} $:
    9 c1 e^3x -6 c1 e^3x -3 c1 e^3x = (9 -6 -3) c1 e^3x = 0
  • Termos constantes e com $ x $:
    e^-x
Então, a equação simplifica para:
c2 e^-x + 2 c2 e^-x -3 c2 e^-x = (1 +2 -3) c2 e^-x = 0
Isso significa que a equação é satisfeita para quaisquer valores de $ c_1 $ e $ c_2 $.

Passo 5

Como a igualdade foi satisfeita independentemente dos valores de $ c_1 $ e $ c_2 $, concluímos que $ y(x) = c_{1} e^{3 x} + c_{2} e^{-x} - 2 x $ é, de fato, a família de soluções da EDO dada.
Agora, vamos encontrar a solução específica que atende às condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 6 $.

Passo 6

Primeiro, aplicamos a condição inicial $ y(0) = 0 $:
y(0) = 0
Isso nos dá a primeira equação:
y(0) = c1 e^0 + c2 e^0 - 2 times 0 = c1 + c2 = 0 çã

Passo 7

Agora, aplicamos a segunda condição inicial $ y’(0) = 6 $.
Lembrando que já calculamos $ y’ $:
y'(0) = 6
Substituindo $ x = 0 $:
y'
Isso nos dá a segunda equação:
y' = 3 c1 e^3x - c2 e^-x - 2 çã

Passo 8

Agora, temos um sistema de duas equações:
  1. $ c_1 + c_2 = 0 $
  2. $ 3 c_1 - c_2 = 8 $
Vamos resolver esse sistema. Da Equação 1, podemos expressar $ c_2 $ em termos de $ c_1 $:
c1 + c2 = 0
Substituindo isso na Equação 2:
3 c1 - c2 = 8
Então, $ c_2 = -2 $.

Resposta

A solução específica que satisfaz as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 6 $ é:
y(0) = 0

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