Verifique se
é uma família de soluções da EDO de segunda ordem
e, em caso positivo, encontre uma solução do PVI dado pelas condições iniciais
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função $ y(x) = c_{1} e^{3 x} + c_{2} e^{-x} - 2 x $ é uma solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem dada por:
Além disso, se for uma solução válida, precisamos encontrar uma solução específica que atenda às condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 6 $.
Para resolver isso, vamos precisar entender como substituir a função na EDO e verificar se a igualdade vale, e depois usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes $ c_1 $ e $ c_2 $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para verificar se uma função é solução de uma EDO, precisamos calcular suas primeiras e segundas derivadas e substituir na equação.
Para nossa função $ y(x) = c_{1} e^{3 x} + c_{2} e^{-x} - 2 x $:
-
Primeira derivada ($ y’ $):
-
Segunda derivada ($ y’’ $):
Passo 3
Agora, substituímos $ y $, $ y’ $ e $ y’’ $ na EDO:
Substituindo:
Vamos simplificar cada termo:
-
Termo $ y’’ $:
-
Termo $ -2 y’ $:
-
Termo $ -3 y $:
Juntando tudo:
Passo 4
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
-
Termos com $ e^{3x} $:
-
Termos com $ e^{-x} $:
-
Termos constantes e com $ x $:
Então, a equação simplifica para:
Isso significa que a equação é satisfeita para quaisquer valores de $ c_1 $ e $ c_2 $.
Passo 5
Como a igualdade foi satisfeita independentemente dos valores de $ c_1 $ e $ c_2 $, concluímos que $ y(x) = c_{1} e^{3 x} + c_{2} e^{-x} - 2 x $ é, de fato, a família de soluções da EDO dada.
Agora, vamos encontrar a solução específica que atende às condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 6 $.
Passo 6
Primeiro, aplicamos a condição inicial $ y(0) = 0 $:
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 7
Agora, aplicamos a segunda condição inicial $ y’(0) = 6 $.
Lembrando que já calculamos $ y’ $:
Substituindo $ x = 0 $:
Isso nos dá a segunda equação:
Passo 8
Agora, temos um sistema de duas equações:
- $ c_1 + c_2 = 0 $
- $ 3 c_1 - c_2 = 8 $
Vamos resolver esse sistema. Da Equação 1, podemos expressar $ c_2 $ em termos de $ c_1 $:
Substituindo isso na Equação 2:
Então, $ c_2 = -2 $.
Resposta
A solução específica que satisfaz as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 6 $ é: