Verifique se a EDO de 1^0 ordem
6 x y d x+(4 y+9 x^2) d y=0
é exata. Se for, resolva-a. Caso não seja, encontre o fator integrante para torná-la exata e resolva-a. Sabendo que y(1)=1 qual a solução particular?

Passo 1

Temos a EDO de 1ª ordem
6xy,dx + l(4y + 9x^2r),dy = 0
O conteúdo aqui é equação exata e, se não for exata, vamos usar fator integrante. Para isso, vamos identificar as funções
M(x,y)=6xy e N(x,y)=4y+9x^2 e checar a exatidão.

Passo 2

Para testar exatidão, calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=6x, partial Npartial x=18x
Como 6x neq 18x, a equação não é exata.

Passo 3

Vamos buscar um fator integrante que dependa só de y. Usamos a condição
partial N/partial x - partial M/partial yM = 18x-6x6xy = 12x6xy = 2y,
que é função apenas de y. Logo,
mu(y) = e^integral 2y,dy = y^2

Passo 4

Multiplicamos toda a EDO original por y^2. Isso dá
M^*=6x y^3, N^*=4y^3+9x^2y^2
Agora checamos a exatidão:
partial M^*partial y=18xy^2, partial N^*partial x=18xy^2,
confirmando que a equação é exata.

Passo 5

Para resolver, buscamos uma função potencial psi(x,y) tal que
x. Integramos em relação a psi(x,y)=integral 6x y^3,dx = 3x^2y^3 + h(y) :
psiy = 9x^2y^2 + h'(y)
Em seguida, fazemos
N^*=4y^3+9x^2y^2
e igualamos a h'(y)=4y^3 implies h(y)=y^4 , obtendo
psi(x,y)=3x^2y^3+y^4,
Assim,
3x^2y^3 + y^4 = C
e a solução geral implícita é

Passo 6

Usando a condição inicial y(1)=1, temos
3cdot1^2cdot1^3 + 1^4 = 3+1 =4 = C
Portanto, a solução particular é dada implicitamente por

Passo 7

Resposta

3x2y3 + y^4 = 4

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