Questão 3. Resolva as equações diferenciais homogêneas ou redutíveis a homogênea abaixo:
Passo 1
A questão pede para resolver a equação diferencial
(2x+y)
dx+(x+2y)
dy=0. O conteúdo é equação diferencial homogênea, pois M(x,y)=2x+y e N(x,y)=x+2y são funções homogêneas de grau 1. Vamos usar a técnica de substituição homogênea y=vx para transformar em variáveis separáveis.
(2x+y)
dx+(x+2y)
dy=0. O conteúdo é equação diferencial homogênea, pois M(x,y)=2x+y e N(x,y)=x+2y são funções homogêneas de grau 1. Vamos usar a técnica de substituição homogênea y=vx para transformar em variáveis separáveis.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma dy/dx. Como
(2x+y)+ (x+2y) (dy/dx)=0,
segue-se que
(2x+y)+ (x+2y) (dy/dx)=0,
segue-se que
Passo 3
Fazendo a substituição homogênea y=vx, temos
e também
Substituindo na equação original:
Passo 4
Passo 5
Isolamos x dv/dx e colocamos em forma separável:
Passo 6
Agora separamos variáveis:
Passo 7
Integramos ambos os lados. No lado esquerdo note que a derivada de (1+v+v^2) é (2v+1):
e no direito
Passo 8
Juntando constantes (C=C_2–C_1) e substituindo v=y/x:
Passo 9
Exponentiando e definindo a constante geral K = e^C, obtemos a solução implícita:
Resposta
x^2 + xy + y^2 = C