Questão 3. Resolva as equações diferenciais homogêneas ou redutíveis a homogênea abaixo:
(2 x+y) d x+(x+2 y) d y=0

Passo 1

A questão pede para resolver a equação diferencial
(2x+y)
dx+(x+2y)
dy=0. O conteúdo é equação diferencial homogênea, pois M(x,y)=2x+y e N(x,y)=x+2y são funções homogêneas de grau 1. Vamos usar a técnica de substituição homogênea y=vx para transformar em variáveis separáveis.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma dy/dx. Como
(2x+y)+ (x+2y) (dy/dx)=0,
segue-se que
dydx=-2x+yx+2y

Passo 3

Fazendo a substituição homogênea y=vx, temos
dydx=v + xdvdx,
e também
2x+yx+2y=2 + v1+2v
Substituindo na equação original:

Passo 4

v + xdvdx = -2+v1+2v

Passo 5

Isolamos x dv/dx e colocamos em forma separável:
xdvdx = -2+v1+2v - v = -(2+v) + v(1+2v)1+2v = -21+v+v^21+2v

Passo 6

Agora separamos variáveis:
1+2v1+v+v^2,dv = -2dxx

Passo 7

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo note que a derivada de (1+v+v^2) é (2v+1):
integral 1+2v1+v+v^2,dv = integral d(1+v+v^2)1+v+v^2 = ln(1+v+v^2) + C1,
e no direito
-2integral dxx = -2ln|x| + C2

Passo 8

Juntando constantes (C=C_2–C_1) e substituindo v=y/x:
ln(1 + tfracyx + tfracy^2x^2) = -2ln|x| + C
lnl(x^2(1 + tfracyx + tfracy^2x^2)r) = C
ln(x^2 + xy + y^2) = C

Passo 9

Exponentiando e definindo a constante geral K = e^C, obtemos a solução implícita:
x^2 + xy + y^2 = K

Resposta

x^2 + xy + y^2 = C

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