Questão 4)) (1,5) Forneça uma parametrização para a curva C obtida pela intersecção do parabolóide z=x^{2}+y^{2} e do plano z=4 x+4.

Passo 1

O enunciado pede a curva C que é a interseção do paraboloide
z = x^{2} + y^{2}
com o plano
z = 4x + 4.
O objetivo é encontrar uma parametrização \mathbf{r}(t) dessa curva. Para isso vamos igualar as duas expressões de z, obter a equação no plano xy e usar coordenadas polares (assimétricas) para parametrizar o círculo resultante.

Passo 2

Igualando as duas definições de z vem
x^{2} + y^{2} = 4x + 4.
Reorganizando termos e completando quadrado em x,
x^{2} - 4x + y^{2} = 4 \quad\Longrightarrow\quad (x - 2)^{2} + y^{2} = 8.
Portanto, no plano xy a interseção é um círculo de centro (2,0) e raio \sqrt{8}=2\sqrt{2}.

Passo 3

Para parametrizar o círculo usamos um parâmetro t\in[0,2\pi] e escrevemos
x - 2 = 2\sqrt{2}\,\cos t, \qquad y = 2\sqrt{2}\,\sin t.
Assim
x(t) = 2 + 2\sqrt{2}\cos t, \quad y(t) = 2\sqrt{2}\sin t.

Passo 4

Falta determinar z(t). Podemos usar z=4x+4, logo
z(t) = 4\bigl(2 + 2\sqrt{2}\cos t\bigr) + 4 = 8 + 8\sqrt{2}\cos t + 4 = 12 + 8\sqrt{2}\cos t.

Resposta

Uma parametrização para C é
\mathbf{r}(t) = \bigl(2 + 2\sqrt{2}\cos t,\;2\sqrt{2}\sin t,\;12 + 8\sqrt{2}\cos t\bigr), \qquad 0\le t\le 2\pi.

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