Questão 3)) (1,5) Calcule a integral de linha do campo escalar f(x, y, x)=2 y(x-z) ao longo da curva C dada pela parametrização R(t)=(t, 2 t,-3 t) para t entre -1 e 2 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de um campo escalar f(x,y,z)=2y(x-z) ao longo da curva C parametricamente dada por
R(t)=(t,\,2t,\,-3t),\quad t\in[-1,2].
O conteúdo aqui é integral de linha de campo escalar, em que usamos a fórmula
\int_{C}f\,ds \;=\;\int_{a}^{b}f\bigl(R(t)\bigr)\,\bigl\|R'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Substituímos a parametrização em f. Como x=t, y=2t e z=-3t, temos
f\bigl(R(t)\bigr) =2\,(2t)\bigl(t-(-3t)\bigr) =4t\,(4t) =16t^{2}.

Passo 3

Calculamos o vetor velocidade e seu módulo:
R'(t)=(1,\,2,\,-3),
\bigl\|R'(t)\bigr\| =\sqrt{1^{2}+2^{2}+(-3)^{2}} =\sqrt{1+4+9} =\sqrt{14}.

Passo 4

Montamos e resolvemos a integral:
\int_{C}f\,ds =\int_{-1}^{2}16t^{2}\,\sqrt{14}\;dt =\sqrt{14}\cdot16\int_{-1}^{2}t^{2}\,dt.
Como
\int_{-1}^{2}t^{2}\,dt =\Bigl[\tfrac{t^{3}}{3}\Bigr]_{-1}^{2} =\frac{8}{3}-\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr) =\frac{9}{3} =3,
segue que
\int_{C}f\,ds =16\sqrt{14}\times3 =48\sqrt{14}.

Resposta

48\sqrt{14}

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