Questão 2 (3 pt) Encontre a integral de linha no plano do campo vetorial V=y i+x j ao longo do gráfico de y=x^3 indo do ponto P0=(1,1) ao ponto P1=(2,8).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralC Vcdot dr
onde V=y,i+x,j e C é o arco de curva dado por y=x^3 do ponto P0=(1,1) até P1=(2,8).
O conteúdo envolvido é integral de linha de um campo vetorial em R^2. Vamos parametrizar a curva e então calcular
integralC (y,dx + x,dy).

Passo 2

Parametrizamos C por
r(t) = l(x(t),y(t)r) = l(t,,t^3r), tin[1,2],
pois em t=1 temos (1,1) e em t=2 temos (2,8).
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dx = x'(t),dt = dt, dy = y'(t),dt = 3t^2,dt

Passo 3

Substituindo na forma diferente de linha
Vcdot dr = y,dx + x,dy
tornamo-nos
y(t),dx + x(t),dy = t^3,dt + tcdot(3t^2,dt) = t^3,dt + 3t^3,dt = 4,t^3,dt

Passo 4

Agora integramos em t de 1 a 2:
integralC Vcdot dr = integral1^2 4,t^3,dt = 4[t^44]1^2 = l[t^4r]1^2 = 2^4-1^4 = 16-1 = 15

Resposta

15

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