Questão 4: Dado o conjunto de vetores B=\{(1,1,0),(-1,-1,1),(0,1,-\sqrt{2})\}.
a) Prove que B é uma base de \mathbf{R}^{3}
b) Quais as coordenadas de v=(1,1, \sqrt{3}) em relação a base B.
Passo 1
Enunciado e dados relevantes (o que o exercício pede e o que está dado):
Foi dado o conjunto de vetores B=\{(1,1,0),(-1,-1,1),(0,1,-\sqrt{2})\}.
Perguntas:
a) Provar que B é uma base de \mathbf{R}^{3}.
b) Encontrar as coordenadas do vetor v=(1,1,\sqrt{3}) na base B.
O que significa ser base em \mathbf{R}^{3} e estratégia prática:
Uma coleção de três vetores em \mathbf{R}^{3} é base se e somente se os vetores são linearmente independentes (LI). Isso porque três vetores LI em \mathbf{R}^{3} geram todo \mathbf{R}^{3}.
Definição prática de LI: vetores b_1,b_2,b_3 são LI se a única solução do sistemac_1 b_1 + c_2 b_2 + c_3 b_3 = (0,0,0)é c_1=c_2=c_3=0.
Um critério rápido e direto: montar a matriz cujas colunas são b_1,b_2,b_3. Se o determinante dessa matriz for diferente de zero, então as colunas são LI e a matriz é invertível — consequência: os vetores formam uma base.
Vou usar este critério do determinante porque é direto e rápido para três vetores em \mathbf{R}^3.
Passo 3
Formar a matriz cujas colunas são os vetores de B e calcular o determinante:
Terceira componente: \beta - \sqrt{2}\,\gamma = \sqrt{3} - 0 = \sqrt{3}.
Esses são exatamente os componentes de v, logo os coeficientes estão corretos.
Resposta
a) B é uma base de \mathbf{R}^{3}, pois \det\begin{pmatrix}1 & -1 & 0\\[4pt]1 & -1 & 1\\[4pt]0 & 1 & -\sqrt{2}\end{pmatrix}=-1\neq 0.
b) As coordenadas de v em relação a B são \bigl(1+\sqrt{3},\;\sqrt{3},\;0\bigr).]