Questão 4: Dado o conjunto de vetores B=\{(1,1,0),(-1,-1,1),(0,1,-\sqrt{2})\}.
a) Prove que B é uma base de \mathbf{R}^{3}
b) Quais as coordenadas de v=(1,1, \sqrt{3}) em relação a base B.

Passo 1

Enunciado e dados relevantes (o que o exercício pede e o que está dado):
  • Foi dado o conjunto de vetores B=\{(1,1,0),(-1,-1,1),(0,1,-\sqrt{2})\}.
  • Perguntas:
    a) Provar que B é uma base de \mathbf{R}^{3}.
    b) Encontrar as coordenadas do vetor v=(1,1,\sqrt{3}) na base B.
Dados explícitos que usaremos: os vetores
b_{1}=(1,1,0),\qquad b_{2}=(-1,-1,1),\qquad b_{3}=(0,1,-\sqrt{2}),
e o vetor alvo
v=(1,1,\sqrt{3}).

Passo 2

O que significa ser base em \mathbf{R}^{3} e estratégia prática:
  • Uma coleção de três vetores em \mathbf{R}^{3} é base se e somente se os vetores são linearmente independentes (LI). Isso porque três vetores LI em \mathbf{R}^{3} geram todo \mathbf{R}^{3}.
  • Definição prática de LI: vetores b_1,b_2,b_3 são LI se a única solução do sistema c_1 b_1 + c_2 b_2 + c_3 b_3 = (0,0,0)é c_1=c_2=c_3=0.
  • Um critério rápido e direto: montar a matriz cujas colunas são b_1,b_2,b_3. Se o determinante dessa matriz for diferente de zero, então as colunas são LI e a matriz é invertível — consequência: os vetores formam uma base.
  • Vou usar este critério do determinante porque é direto e rápido para três vetores em \mathbf{R}^3.

Passo 3

Formar a matriz cujas colunas são os vetores de B e calcular o determinante:
A matriz A com colunas b_1,b_2,b_3 é
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[4pt] 1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -\sqrt{2} \end{pmatrix}.
Calculamos \det(A) expandindo pela primeira linha (fórmula de Laplace para 3×3):
  • Menor correspondente ao elemento a_{11}=1: \det\begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt] 1 & -\sqrt{2}\end{pmatrix} =(-1)(-\sqrt{2}) - (1)(1)=\sqrt{2}-1.
  • Menor correspondente ao elemento a_{12}=-1 (lembrar do sinal alternado): \det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] 0 & -\sqrt{2}\end{pmatrix} =1\cdot(-\sqrt{2}) - 1\cdot 0 = -\sqrt{2}.
Agora a expansão:
\det(A)=1\cdot(\sqrt{2}-1) -(-1)\cdot(-\sqrt{2}) + 0\cdot(\cdots).
Note que -(-1)\cdot(-\sqrt{2}) = -\sqrt{2}. Assim
\det(A)=(\sqrt{2}-1)-\sqrt{2}=-1.]

Passo 4

Conclusão da parte (a):
  • Como \det(A)=-1\neq 0, as colunas de A são linearmente independentes.
  • Portanto os vetores b_{1},b_{2},b_{3} são LI e, sendo três vetores em \mathbf{R}^{3}, formam uma base de \mathbf{R}^{3}.
  • Assim a resposta da parte (a) é afirmativa: B é uma base de \mathbf{R}^{3}.

Passo 5

Representar v como combinação linear dos vetores da base (configurar o sistema da parte b):
Procuramos escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
v=\alpha b_{1}+\beta b_{2}+\gamma b_{3}.
Escrevendo coordenada a coordenada (cada componente gera uma equação):
  • Primeira componente: \alpha + (-1)\beta + 0\gamma = 1, isto é \alpha - \beta = 1. \tag{1}
  • Segunda componente: \alpha + (-1)\beta + 1\gamma = 1, isto é \alpha - \beta + \gamma = 1. \tag{2}
  • Terceira componente: 0\alpha + 1\beta + (-\sqrt{2})\gamma = \sqrt{3}, isto é \beta - \sqrt{2}\,\gamma = \sqrt{3}. \tag{3}

Passo 6

Resolver o sistema de forma passo a passo (método de substituição, bem mastigado):
  • Da equação (1): \alpha = 1+\beta.
  • Substituindo \alpha em (2): (1+\beta)-\beta+\gamma = 1 \quad\Rightarrow\quad 1+\gamma = 1 \quad\Rightarrow\quad \gamma = 0.
  • Com \gamma=0, a equação (3) fica \beta - \sqrt{2}\cdot 0 = \sqrt{3} \quad\Rightarrow\quad \beta = \sqrt{3}.
  • Finalmente \alpha = 1+\beta = 1+\sqrt{3}.
Portanto os coeficientes são
\alpha = 1+\sqrt{3},\qquad \beta = \sqrt{3},\qquad \gamma = 0.

Passo 7

Verificação rápida (para me deixar mais confiante, sempre bom checar):
  • Primeiro componente da combinação: \alpha - \beta = (1+\sqrt{3})-\sqrt{3}=1.
  • Segunda componente: \alpha - \beta + \gamma = 1 + 0 = 1.
  • Terceira componente: \beta - \sqrt{2}\,\gamma = \sqrt{3} - 0 = \sqrt{3}.
    Esses são exatamente os componentes de v, logo os coeficientes estão corretos.

Resposta

a) B é uma base de \mathbf{R}^{3}, pois \det\begin{pmatrix}1 & -1 & 0\\[4pt]1 & -1 & 1\\[4pt]0 & 1 & -\sqrt{2}\end{pmatrix}=-1\neq 0.
b) As coordenadas de v em relação a B são \bigl(1+\sqrt{3},\;\sqrt{3},\;0\bigr).]

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