Questão 2 Sendo
espaço vetorial
, usando a definição de subespaço vetorial, verifique se
e subespaço vetorial de
.
e
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
e o subconjunto
A pergunta é: verificar se
é um subespaço vetorial de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Vou lembrar a definição de subespaço vetorial (vai ajudar na prova): um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se satisfaz três propriedades:
-
é não-vazio (costuma-se verificar que o vetor zero pertence a ).\ -
é fechado sob adição: para quaisquer , deve valer .\ -
é fechado sob multiplicação por escalar: para qualquer e qualquer , deve valer .
Explicando de maneira bem prática: “fechado sob multiplicação por escalar” significa que se
satisfaz a condição que define
, então
também tem que satisfazer essa mesma condição para todo
. Se eu encontrar qualquer par
e algum
tal que
, já basta para concluir que
não é subespaço.
Passo 3
Verifico primeiro se o vetor zero está em
. Substituo
na equação que define
:
Como a igualdade é verdadeira,
. Então
é não-vazio.
Passo 4
Analiso a condição de fechamento por multiplicação escalar de forma algébrica. Seja
, isto é,
Tomemos um escalar arbitrário
e consideremos
. Para que
seja fechado sob escalares, devemos ter
Faço as contas:
Como
, podemos isolar
e substituir:
Portanto
Para que isto seja
para todo
e todo
, seria necessário que
sempre. Mas isso só acontece sempre se
(caso especial) ou
. Como exigimos a propriedade para todo escalar
, vemos que em geral não é verdade que
.
Passo 5
Vou dar um contraexemplo numérico — é a maneira mais direta de mostrar que a propriedade falha na prática. Escolho um vetor
com
. Por exemplo, tomo
. Para que
precisamos que
Assim
. Agora escolho o escalar
e multiplico:
Verifico se este vetor pertence a
:
Logo
. Isso mostra explicitamente que
não é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 6
Como encontramos um vetor
e um escalar
tais que
, concluímos que a propriedade de fechamento por multiplicação escalar falha. Portanto
não satisfaz todas as condições para ser subespaço vetorial de
. (Para reforçar a intuição: a presença de
na condição é não-linear — subespaços são sempre definidos por condições lineares homogêneas.)
Resposta
Não,
não é subespaço vetorial de
.