Questão 2 Sendo V espaço vetorial U \subset V, usando a definição de subespaço vetorial, verifique se U e subespaço vetorial de V.
V=\mathbb{R}^{2} e U=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 2 x^{2}+3 y=0\right\}

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{2} e o subconjunto
U=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 2x^{2}+3y=0\}.
A pergunta é: verificar se U é um subespaço vetorial de V.
Informações relevantes fornecidas:
\text{(i) }V=\mathbb{R}^{2},\qquad \text{(ii) }U=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 2x^{2}+3y=0\}.
Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Vou lembrar a definição de subespaço vetorial (vai ajudar na prova): um subconjunto U de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se satisfaz três propriedades:
  1. U é não-vazio (costuma-se verificar que o vetor zero (0,0) pertence a U).\
  2. U é fechado sob adição: para quaisquer \mathbf{u},\mathbf{v}\in U, deve valer \mathbf{u}+\mathbf{v}\in U.\
  3. U é fechado sob multiplicação por escalar: para qualquer \mathbf{u}\in U e qualquer \lambda\in\mathbb{R}, deve valer \lambda\mathbf{u}\in U.
Explicando de maneira bem prática: “fechado sob multiplicação por escalar” significa que se (x,y) satisfaz a condição que define U, então (\lambda x,\lambda y) também tem que satisfazer essa mesma condição para todo \lambda. Se eu encontrar qualquer par (x,y)\in U e algum \lambda tal que (\lambda x,\lambda y)\notin U, já basta para concluir que U não é subespaço.

Passo 3

Verifico primeiro se o vetor zero está em U. Substituo (x,y)=(0,0) na equação que define U:
2\cdot 0^{2}+3\cdot 0 = 0.
Como a igualdade é verdadeira, (0,0)\in U. Então U é não-vazio.

Passo 4

Analiso a condição de fechamento por multiplicação escalar de forma algébrica. Seja (x,y)\in U, isto é,
2x^{2}+3y=0.
Tomemos um escalar arbitrário \lambda\in\mathbb{R} e consideremos (\lambda x,\lambda y). Para que U seja fechado sob escalares, devemos ter
2(\lambda x)^{2}+3(\lambda y)=0.
Faço as contas:
2(\lambda x)^{2}+3(\lambda y)=2\lambda^{2}x^{2}+3\lambda y.
Como 2x^{2}+3y=0, podemos isolar 3y=-2x^{2} e substituir:
2\lambda^{2}x^{2}+3\lambda y=2\lambda^{2}x^{2}+\lambda(3y)=2\lambda^{2}x^{2}+\lambda(-2x^{2})=2x^{2}\bigl(\lambda^{2}-\lambda\bigr).
Portanto
2(\lambda x)^{2}+3(\lambda y)=2x^{2}\lambda(\lambda-1).
Para que isto seja 0 para todo \lambda e todo (x,y)\in U, seria necessário que 2x^{2}\lambda(\lambda-1)=0 sempre. Mas isso só acontece sempre se x=0 (caso especial) ou \lambda\in\{0,1\}. Como exigimos a propriedade para todo escalar \lambda, vemos que em geral não é verdade que (\lambda x,\lambda y)\in U.

Passo 5

Vou dar um contraexemplo numérico — é a maneira mais direta de mostrar que a propriedade falha na prática. Escolho um vetor (x,y)\in U com x\neq 0. Por exemplo, tomo x=1. Para que (1,y)\in U precisamos que
2\cdot 1^{2}+3y=0\quad\Rightarrow\quad 2+3y=0\quad\Rightarrow\quad y=-\tfrac{2}{3}.
Assim \bigl(1,-\tfrac{2}{3}\bigr)\in U. Agora escolho o escalar \lambda=2 e multiplico:
\lambda\bigl(1,-\tfrac{2}{3}\bigr)=(2,-\tfrac{4}{3}).
Verifico se este vetor pertence a U:
2\cdot 2^{2}+3\left(-\tfrac{4}{3}\right)=2\cdot 4 -4 =8-4=4\neq 0.
Logo (2,-\tfrac{4}{3})\notin U. Isso mostra explicitamente que U não é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 6

Como encontramos um vetor (x,y)\in U e um escalar \lambda tais que \lambda(x,y)\notin U, concluímos que a propriedade de fechamento por multiplicação escalar falha. Portanto U não satisfaz todas as condições para ser subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}. (Para reforçar a intuição: a presença de x^{2} na condição é não-linear — subespaços são sempre definidos por condições lineares homogêneas.)

Resposta

Não, U não é subespaço vetorial de V.

Exercícios relacionados