Questão I3) O desempenho de dois catalisadores está sendo testado de forma a determinar-se se eles exigem tempos diferentes de imersão para a remoção de quantidades idênticas de material fotorressistente. Doze lotes foram submetidos ao catalisador 1 , resultando em uma média amostral do tempo de imersão de 24,6 minutos e em um desvio padrão de 0,85 minutos. Quinze lotes foram submetidos ao catalisador 2 , resultando em um tempo médio de imersão de 22,1 minutos e um desvio padrão de 0,98 minutos. Verifique se há diferença significativa entre o desempenho dos catalisadores considerando um nível de significância de 5% considerando:
Teste de hipóteses. Justifique sua resposta.
Teste de hipóteses. Justifique sua resposta.
Passo 1
Lista clara do que o enunciado dá e o que pede.
- Amostras independentes:
- Catalisador 1:
, minutos, minutos. - Catalisador 2:
, minutos, minutos.
- Catalisador 1:
- Pergunta: verificar se há diferença significativa entre os tempos médios de imersão dos dois catalisadores ao nível de significância de
.
Passo 2
Formular o teste de hipóteses (duas amostras, diferença de médias, hipótese alternativa bilateral).
Isto é, a hipótese nula diz que os dois catalisadores têm o mesmo tempo médio; a hipótese alternativa diz que são diferentes (não orientada).
Passo 3
Escolha do teste e justificativa (por que usar o teste de Welch).
- Temos duas amostras independentes com tamanhos pequenos (
, ) e variâncias amostrais diferentes ( , — não exatamente iguais). - O teste de Student “poolado” exige assumir variâncias iguais na população; como não há justificativa forte para essa igualdade e as variâncias amostrais são diferentes, é mais seguro usar o teste de Welch (também chamado de two-sample t-test sem suposição de variâncias iguais). O teste de Welch ajusta os graus de liberdade e é adequado aqui.
- Pressupostos: amostras independentes; cada população aproximadamente normal (com amostras pequenas isso é importante, mas o teste é relativamente robusto se desvios não forem extremos).
Passo 4
Fórmula do estatístico de teste (explicação das partes).
O estatístico de teste do método de Welch é
onde:
-
e são as médias amostrais, -
e são as variâncias amostrais (ou seja, , ), -
e são os tamanhos amostrais.
A razãomede quantos desvios padrão (da diferença entre médias) a diferença observada está longe de zero.
Os graus de liberdade aproximados (fórmula de Welch–Satterthwaite) são
Isso dá graus de liberdade possivelmente não inteiros; usa-se a tabela
ou calculadora com esse
.
Passo 5
Calcular as quantidades necessárias (passo a passo numérico).
Primeiro as variâncias amostrais:
Agora os termos dentro da raiz:
Soma dos termos:
Desvio-padrão da diferença:
Passo 6
Calcular o valor do
.
Diferença das médias:
Portanto
Interpretação rápida: um
assim tão grande significa que a diferença observada (2,5 minutos) é muitas vezes maior que a variabilidade esperada para a diferença sob
.
Passo 7
Calcular os graus de liberdade aproximados (
) pela fórmula de Welch (cálculo numérico).
Numerador:
Denominador (dois termos):
Soma do denominador:
Assim
Podemos usar
para fins de comparação com a tabela
.
Passo 8
Decisão do teste (comparar com valor crítico ou calcular
-valor).
- Nível de significância:
. É teste bilateral, então usamos as caudas em conjunto. - Valor crítico (tabela) para duas caudas com
: . - Nosso valor observado:
. - Como
, rejeitamos .
Estimativa do
-valor: para
com
, o
-valor é extremamente pequeno (muito menor que
); podemos dizer com segurança que
. Em termos práticos: evidência muito forte contra
.
Passo 9
Interpretação em linguagem simples e contextualizada (motivações, cautelas).
- Conclusão: há evidência estatística forte (ao nível de
) de que os tempos médios de imersão dos dois catalisadores são diferentes. A média do catalisador 1 ( min) é maior que a do catalisador 2 ( min), e essa diferença de minutos é estatisticamente significativa. - Cautelas práticas: o teste assume amostras independentes e que as populações não são muito diferentes da normal. Se houver dados fortemente assimétricos ou outliers, seria prudente verificar esses pontos ou usar métodos não paramétricos. Mas, com os dados fornecidos, a conclusão é robusta.
- Incentivo: isso significa que, na prova, bastaria reconhecer tratar-se de um teste para duas médias independentes, escolher Welch (por segurança), calcular o
e comparar com a tabela; este é exatamente o que fizemos.
Resposta
Rejeita-se
; há diferença significativa entre os catalisadores ao nível de
(estatístico
,
;
).