Questão DP6) Dois estudantes foram informados de que alcançaram as variáveis reduzidas (Z) de 0,8 e -0,4, respectivamente, em um exame de múltipla escolha de inglês. Se seus rendimentos foram 88 e 64, respectivamente:
a) Determinar a média e o desvio padrão dos rendimentos do exame.
b) Determinar a probabilidade de um estudante alcançar um rendimento maior que 96 .

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede o que segue:
  • Dados:
    • Um estudante teve variável reduzida Z=0,8 e rendimento X=88.
    • Outro estudante teve variável reduzida Z=-0,4 e rendimento X=64.
  • Perguntas:
    a) Determinar a média \mu e o desvio padrão \sigma dos rendimentos do exame.
    b) Determinar a probabilidade de um estudante alcançar um rendimento maior que 96.

Passo 2

Entendendo a relação entre a variável original X (rendimento) e a variável reduzida Z.
A definição de variável reduzida (z-score) é
Z = \frac{X-\mu}{\sigma},
onde:
  • \mu é a média da distribuição de X (o valor médio dos rendimentos),
  • \sigma é o desvio padrão de X (medida de dispersão),
  • X é o valor observado (rendimento de um estudante),
  • Z é quantos desvios-padrão X está afastado da média.
Vamos usar essa fórmula com os dois pares (Z,X) que o enunciado deu.

Passo 3

Escrever as duas equações substituindo os pares (Z,X):
Para o primeiro estudante:
0,8 = \frac{88-\mu}{\sigma}.
Para o segundo estudante:
-0,4 = \frac{64-\mu}{\sigma}.
Essas são duas equações lineares em \mu e \sigma. A estratégia prática é eliminar \mu subtraindo as equações.

Passo 4

Subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar \mu:
0,8 - (-0,4) = \frac{88-\mu}{\sigma} - \frac{64-\mu}{\sigma}.
O lado esquerdo é 1,2. No lado direito os termos \mu se cancelam:
1,2 = \frac{88-64}{\sigma} = \frac{24}{\sigma}.
Isolando \sigma:
\sigma = \frac{24}{1,2} = 20.
Portanto o desvio padrão é \sigma=20.

Passo 5

Agora que temos \sigma, encontramos \mu usando uma das equações iniciais. Usando a primeira:
0,8 = \frac{88-\mu}{20} \quad\Rightarrow\quad 88-\mu = 0,8\cdot20 = 16 \quad\Rightarrow\quad \mu = 88-16 = 72.
Verificação usando a segunda equação:
-0,4 = \frac{64-\mu}{20} \quad\Rightarrow\quad 64-\mu = -0,4\cdot20 = -8 \quad\Rightarrow\quad \mu = 64+8 = 72,
compatível. Logo \mu=72 e \sigma=20.

Passo 6

Agora a parte (b): calcular P(X>96).
Passo 6.1 — transformar o evento em Z. Usamos
Z = \frac{X-\mu}{\sigma}.
Para X=96:
z = \frac{96-72}{20} = \frac{24}{20} = 1,2.
Passo 6.2 — interpretar a probabilidade. Queremos
P(X>96) = P\bigl(Z>1,2\bigr).
Usamos a tabela da distribuição normal padrão (ou calculadora). A função de distribuição acumulada padrão \Phi(z) P(Z\le z). Pela tabela,
\Phi(1,2) \approx 0,8849.
Logo
P(Z>1,2) = 1-\Phi(1,2) \approx 1-0,8849 = 0,1151.
Passo 6.3 — interpretação final: a probabilidade de um estudante tirar mais que 96 é aproximadamente 0,1151, ou seja cerca de 11,51\%.

Resposta

(a) \mu=72,\\ \sigma=20
(b) P(X>96)=0,1151\\ \text{(aprox.\\ }11,51\%)

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