Questão DP6) Dois estudantes foram informados de que alcançaram as variáveis reduzidas (Z) de 0,8 e
, respectivamente, em um exame de múltipla escolha de inglês. Se seus rendimentos foram 88 e 64, respectivamente:
a) Determinar a média e o desvio padrão dos rendimentos do exame.
b) Determinar a probabilidade de um estudante alcançar um rendimento maior que 96 .
a) Determinar a média e o desvio padrão dos rendimentos do exame.
b) Determinar a probabilidade de um estudante alcançar um rendimento maior que 96 .
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede o que segue:
-
Dados:
- Um estudante teve variável reduzida
e rendimento . - Outro estudante teve variável reduzida
e rendimento .
- Um estudante teve variável reduzida
-
Perguntas:
a) Determinar a médiae o desvio padrão dos rendimentos do exame.
b) Determinar a probabilidade de um estudante alcançar um rendimento maior que.
Passo 2
Entendendo a relação entre a variável original
(rendimento) e a variável reduzida
.
A definição de variável reduzida (z-score) é
onde:
-
é a média da distribuição de (o valor médio dos rendimentos), -
é o desvio padrão de (medida de dispersão), -
é o valor observado (rendimento de um estudante), -
é quantos desvios-padrão está afastado da média.
Vamos usar essa fórmula com os dois pares
que o enunciado deu.
Passo 3
Escrever as duas equações substituindo os pares
:
Para o primeiro estudante:
Para o segundo estudante:
Essas são duas equações lineares em
e
. A estratégia prática é eliminar
subtraindo as equações.
Passo 4
Subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar
:
O lado esquerdo é
. No lado direito os termos
se cancelam:
Isolando
:
Portanto o desvio padrão é
.
Passo 5
Agora que temos
, encontramos
usando uma das equações iniciais. Usando a primeira:
Verificação usando a segunda equação:
compatível. Logo
e
.
Passo 6
Agora a parte (b): calcular
.
Passo 6.1 — transformar o evento em
. Usamos
Para
:
Passo 6.2 — interpretar a probabilidade. Queremos
Usamos a tabela da distribuição normal padrão (ou calculadora). A função de distribuição acumulada padrão
dá
. Pela tabela,
Logo
Passo 6.3 — interpretação final: a probabilidade de um estudante tirar mais que
é aproximadamente
, ou seja cerca de
.
Resposta
(a)
(b) )
(b)