QUESTÃO 3. Em um dado instante, v=(-2,00 \hat{\imath}+4,00 \hat{\jmath}-6,00 \hat{k}) \mathrm{m} / \mathrm{s} é a velocidade de um próton ( \mathrm{q}=+\mathrm{e}=1,6 \times 10^{-19} \mathrm{C} ) em um campo magnético uniforme \vec{B}=(2,00 \hat{\imath}-4,00 \hat{\jmath}+8,00 \hat{k}) \mathrm{mT}. Para esse instante, determine (a) a força magnética que o campo exerce sobre o próton, na notação dos vetores unitários, (b) o ângulo entre \vec{v} e \vec{F} e (c) o ângulo entre \vec{v} e \vec{B}.

Passo 1

O enunciado fornece a velocidade de um próton
\vec v = (-2{,}00\,\hat\imath + 4{,}00\,\hat\jmath -6{,}00\,\hat k)\,\mathrm{m/s}
e o campo magnético uniforme
\vec B = (2{,}00\,\hat\imath -4{,}00\,\hat\jmath +8{,}00\,\hat k)\,\mathrm{mT},
além da carga do próton q=+e=1{,}6\times10^{-19}\,\mathrm C.
Pede-se:
(a) a força magnética \vec F=q\,\vec v\times\vec B,
(b) o ângulo entre \vec v e \vec F,
(c) o ângulo entre \vec v e \vec B.

Passo 2

Primeiro convertemos \vec B para tesla: cada componente em mT multiplica por 10^{-3}. Assim
B_x=2{,}00\times10^{-3},\quad B_y=-4{,}00\times10^{-3},\quad B_z=8{,}00\times10^{-3}\quad(\mathrm T).
Usamos a fórmula do produto vetorial
\vec v\times\vec B =\bigl(v_yB_z - v_zB_y\bigr)\,\hat\imath -\bigl(v_xB_z - v_zB_x\bigr)\,\hat\jmath +\bigl(v_xB_y - v_yB_x\bigr)\,\hat k.
Substituindo v_x=-2, v_y=4, v_z=-6 e os B_i convertidos:
v_yB_z - v_zB_y =4\cdot8\times10^{-3}-(-6)\cdot(-4\times10^{-3}) =32\times10^{-3}-24\times10^{-3} =8\times10^{-3},
v_xB_z - v_zB_x =-2\cdot8\times10^{-3}-(-6)\cdot2\times10^{-3} =-16\times10^{-3}+12\times10^{-3} =-4\times10^{-3},
v_xB_y - v_yB_x =-2\cdot(-4\times10^{-3})-4\cdot(2\times10^{-3}) =8\times10^{-3}-8\times10^{-3} =0.
Logo
\vec v\times\vec B=(8\times10^{-3})\,\hat\imath -\bigl(-4\times10^{-3}\bigr)\,\hat\jmath +0\,\hat k =(8\times10^{-3})\,\hat\imath+(4\times10^{-3})\,\hat\jmath.

Passo 3

A força magnética é
\vec F = q\,(\vec v\times\vec B) =1{,}6\times10^{-19}\,\mathrm C\;\bigl(8\times10^{-3}\,\hat\imath+4\times10^{-3}\,\hat\jmath\bigr)
\implies \vec F=(1{,}28\times10^{-21})\,\hat\imath+(6{,}40\times10^{-22})\,\hat\jmath+0\,\hat k \quad(\mathrm N).

Passo 4

Para o ângulo entre \vec v e \vec F usamos
\cos\theta_{vF} =\frac{\vec v\cdot\vec F}{\|\vec v\|\;\|\vec F\|}.
Calcula-se o produto escalar
\vec v\cdot\vec F =(-2)\,(1{,}28\times10^{-21}) +4\,(6{,}40\times10^{-22}) +(-6)\,0 =-2{,}56\times10^{-21}+2{,}56\times10^{-21}+0=0.
Logo \cos\theta_{vF}=0 e
\theta_{vF}=90^\circ.

Passo 5

Para o ângulo entre \vec v e \vec B usamos
\cos\varphi =\frac{\vec v\cdot\vec B}{\|\vec v\|\;\|\vec B\|}.
Já temos \vec v\cdot\vec B:
\vec v\cdot\vec B =(-2)(2\times10^{-3}) +4(-4\times10^{-3}) +(-6)(8\times10^{-3}) =-0{,}004-0{,}016-0{,}048 =-0{,}068.
As normas são
\|\vec v\|=\sqrt{(-2)^2+4^2+(-6)^2}=\sqrt{56}\approx7{,}483,
\|\vec B\|=\sqrt{(2\times10^{-3})^2+(-4\times10^{-3})^2+(8\times10^{-3})^2} =\sqrt{84}\times10^{-3}\approx9{,}165\times10^{-3}.
Então
\cos\varphi =\frac{-0{,}068}{7{,}483\;\times9{,}165\times10^{-3}} \approx-0{,}991 \quad\implies\quad \varphi\approx172^\circ.

Resposta

(a) \displaystyle \vec{F} = (1,28 \times 10^{-21})\,\hat{\imath} + (6,40 \times 10^{-22})\,\hat{\jmath} + 0\,\hat{k},N
(b) \displaystyle 90^\circ
(c) \displaystyle 172^\circ

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