Questão 2) Dado um reservatório com água e volume de 10 \mathrm{~m}^{3} (dez). Sabendo que a água é drenada por um furo no fundo do reservatório, furo com diâmetro de 25 mm e velocidade média de \vec{v}=4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, média no tempo e na seção. Quanto tempo será necessário para esvaziar o reservatório? Faça um esquema para o problema. Use a densidade da água igual a 998.2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O que o problema pede: calcular o tempo necessário para esvaziar um reservatório que contém água com volume 10\\ \mathrm{m}^3, sabendo que a água sai por um furo no fundo com diâmetro 25\\ \mathrm{mm} e velocidade média (na seção) 4\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}. O enunciado também fornece a densidade da água igual a 998{,}2\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
Informações dadas (convertidas quando necessário):
V = 10\\ \mathrm{m}^3
d = 25\\ \mathrm{mm} = 0{,}025\\ \mathrm{m}
v = 4\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}
\rho = 998{,}2\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3
O objetivo é encontrar o tempo t para esvaziar o volume V.

Passo 2

Esquema do problema (descrição do desenho): imagine um reservatório acima, com volume total V. No fundo há um furo circular de diâmetro d. A água que passa pelo furo tem velocidade média v através da seção do furo. Da seção do furo vem um jato com vazão volumétrica Q. Assim, podemos relacionar o esvaziamento pelo balanço de volume: a vazão Q (m ^3/s) retira água do reservatório até o volume total V ser zero. (Usei os dados do enunciado para montar esse esquema.)

Passo 3

Princípio físico e fórmula básica: quando a velocidade média na seção de saída é conhecida e a seção é fixa, a vazão volumétrica é dada por
Q = v\,A,
onde Q é a vazão volumétrica em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}, v é a velocidade média em \mathrm{m}/\mathrm{s} e A é a área da seção em \mathrm{m}^2. Explicando as unidades: \mathrm{m}/\mathrm{s} multiplicado por \mathrm{m}^2 gera \mathrm{m}^3/\mathrm{s}, que é o volume por unidade de tempo — exatamente o que precisamos.
O tempo para esvaziar, assumindo Q constante, é simplesmente
t = \frac{V}{Q}.
Aqui t terá unidades de segundos se V estiver em \mathrm{m}^3 e Q em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Observação: o enunciado deu a velocidade média já; isso nos permite usar Q=vA diretamente. Em problemas reais, se a velocidade dependesse do nível de água, teríamos que integrar, mas aqui usamos a média fornecida.

Passo 4

Cálculo da área da seção do furo. A seção é circular, então
A = \frac{\pi d^2}{4}.
Substituindo d = 0{,}025\\ \mathrm{m}:
d^2 = 0{,}025^2 = 0{,}000625\\ \mathrm{m}^2,
A = \frac{\pi\cdot 0{,}000625}{4} \approx 4{,}9087\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.
Expliquei: primeiro calculei d^2 (unidade \mathrm{m}^2), depois multiplique por \pi/4 para obter a área.

Passo 5

Cálculo da vazão volumétrica Q:
Q = v\,A = 4\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}\times 4{,}9087\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 \approx 1{,}9635\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Interpretação: a cada segundo saem aproximadamente 0{,}0019635\\ \mathrm{m}^3 de água pelo furo.

Passo 6

Cálculo do tempo t:
t = \frac{V}{Q} = \frac{10\\ \mathrm{m}^3}{1{,}9635\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}} \approx 5092{,}958\\ \mathrm{s}.
Conversões úteis:
5092{,}958\\ \mathrm{s} = \frac{5092{,}958}{60}\\ \mathrm{min} \approx 84{,}8826\\ \mathrm{min},
ou em horas, minutos e segundos: 5092{,}958\\ \mathrm{s} = 1\\ \mathrm{h}\\\ 24\\ \mathrm{min}\\\ 52{,}96\\ \mathrm{s}.

Passo 7

Uso da densidade fornecida (verificação física): podemos calcular a vazão mássica \dot{m} e a massa total para checar consistência:
\dot{m} = \rho\,Q = 998{,}2\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 \times 1{,}9635\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} \approx 1{,}95996\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}.
Massa total de água no reservatório:
M = \rho V = 998{,}2\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 \times 10\\ \mathrm{m}^3 = 9982\\ \mathrm{kg}.
Tempo obtido por massa sobre vazão mássica:
t = \frac{M}{\dot{m}} = \frac{9982\\ \mathrm{kg}}{1{,}95996\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}} \approx 5092{,}958\\ \mathrm{s},
que coincide com o cálculo volumétrico — bom sinal. Aqui usei a densidade fornecida conforme pedido.

Passo 8

Observações finais e hipóteses: a resposta assume que a velocidade média v fornecida é constante durante todo o esvaziamento (o enunciado disse “média no tempo e na seção” — por isso é apropriado tratar Q como constante). Em esvaziamentos reais sem manter um nível constante, a velocidade costuma diminuir com a perda de altura; aí seria necessário modelar v(h) e integrar. Como o enunciado forneceu v médio, usamos a forma direta t=V/(vA). Força para você — cálculo simples, resultado direto, e testes de consistência com densidade confirmam que tudo está coerente.

Resposta

t \approx 5092{,}958\\ \mathrm{s}
t \approx 1\\ \mathrm{h}\\\ 24\\ \mathrm{min}\\\ 52{,}96\\ \mathrm{s}

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