Questão 3) Dado um tubo circular, com seção variável ao longo do comprimento, com uma vazão de \mathrm{Q}=5 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} e dada uma velocidade média em uma seção de \vec{v}=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, determinar:
a) o diâmetro desta seção.
b) em outra seção, com a borda do diâmetro, qual será a velocidade média do fluxo. A substância utilizada é a gasolina.

Passo 1

Dados fornecidos:
Q = 5\\ \mathrm{m^{3}/s}
\vec{v}_1 = 2\\ \mathrm{m/s}
O enunciado pede:
a) Determinar o diâmetro da seção onde a velocidade média é \vec{v}_1.
b) Em outra seção, “com a borda do diâmetro”, determinar a velocidade média do fluxo; é informada a substância (gasolina).
Observação sobre o enunciado: a expressão “com a borda do diâmetro” não é clara. Vou assumir que o enunciado quis dizer “com o diâmetro dobrado” (isto é, d_2=2d_1). Se você quis dizer outra coisa (por exemplo, “metade do diâmetro”), o resultado do item (b) muda — eu explico isso nos passos seguintes.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (continuidade do escoamento incompressível):
Explanação didática: para um fluido incompressível (como gasolina, para fins práticos aqui), a vazão volumétrica Q que passa por qualquer seção do tubo é igual à área da seção A multiplicada pela velocidade média \bar v nessa seção. Isso vem da ideia de conservação de massa: o volume que entra por segundo em uma seção deve ser igual ao que sai por outra seção (se o fluido não se acumula nem é comprimido).
A fórmula é:
Q = A \cdot \bar v
onde:
  • Q é a vazão volumétrica em \mathrm{m^{3}/s},
  • A é a área da seção transversal em \mathrm{m^{2}},
  • \bar v é a velocidade média em \mathrm{m/s}.
Para uma seção circular (tubo circular), a área em função do diâmetro d é:
A = \frac{\pi d^{2}}{4}
onde \pi é a constante 3,14159… e d está em metros.

Passo 3

Cálculo da área da seção onde \bar v_1 = 2\\ \mathrm{m/s}.
Usando Q = A\bar v, isolamos A:
A = \frac{Q}{\bar v_1}
Substituindo os valores dados:
A = \frac{5}{2} = 2,5\\ \mathrm{m^{2}}
Explicação: isto significa que, para manter 5\\ \mathrm{m^{3}/s} com velocidade média de 2\\ \mathrm{m/s}, a seção deve ter área 2{,}5\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Cálculo do diâmetro a partir da área.
Partimos da fórmula da área da seção circular:
A = \frac{\pi d^{2}}{4}
Isolando d:
d = \sqrt{\frac{4A}{\pi}}
Agora substituímos A=2{,}5\\ \mathrm{m^{2}}:
d = \sqrt{\frac{4\cdot 2{,}5}{\pi}} = \sqrt{\frac{10}{\pi}}
Cálculo numérico (mostrando passo a passo para fazer sem calculadora, aproximadamente):
\pi \approx 3{,}1416 \quad\Rightarrow\quad \frac{10}{\pi} \approx 3{,}1831
Agora extraímos a raiz quadrada de 3{,}1831. Sabendo que 1{,}78^{2}=3{,}1684 e 1{,}79^{2}=3{,}2041, a raiz fica entre 1{,}78 e 1{,}79; aproximamos por 1{,}784\\ \mathrm{m}. Arredondando com duas casas decimais:
d \approx 1{,}78\\ \mathrm{m}
Comentário prático: este é um tubo bastante grande (diâmetro cerca de 1{,}8\\ \mathrm{m}) — faz sentido dado que a vazão 5\\ \mathrm{m^{3}/s} é alta e a velocidade escolhida foi relativamente baixa.

Passo 5

Resolução do item (b) — velocidade média em outra seção quando o diâmetro é dobrado.
Lembrando a observação do Passo 1: estou assumindo que “com a borda do diâmetro” significa que o diâmetro nessa outra seção é o dobro: d_2 = 2d_1.
Cálculo do fator de área:
A_1 = \frac{\pi d_1^{2}}{4},\qquad A_2 = \frac{\pi d_2^{2}}{4} = \frac{\pi (2d_1)^{2}}{4} = \frac{\pi 4 d_1^{2}}{4} = 4A_1
Ou seja, dobrar o diâmetro aumenta a área por um fator 4.
Como Q é o mesmo em qualquer seção e Q = A_2 \bar v_2, temos:
\bar v_2 = \frac{Q}{A_2} = \frac{Q}{4A_1} = \frac{1}{4}\cdot\frac{Q}{A_1} = \frac{\bar v_1}{4}
Substituindo \bar v_1 = 2\\ \mathrm{m/s}:
\bar v_2 = \frac{2}{4} = 0{,}5\\ \mathrm{m/s}
Explicação física curta: aumentar o diâmetro reduz a velocidade porque o mesmo volume de fluido por segundo se espalha em uma área maior.
Observação adicional (caso tivesse sido outra intenção do enunciado): se o enunciado quisesse “metade do diâmetro” ( d_2 = d_1/2), então A_2 = \tfrac{1}{4}A_1 e \bar v_2 = 4\bar v_1 = 8\\ \mathrm{m/s}. Portanto, sempre verifique exatamente qual mudança de diâmetro está sendo solicitada.
Também vale comentar: a menção à gasolina não altera o uso da equação de continuidade volumétrica — desde que o fluido seja incompressível, a densidade não entra em Q=A\bar v. Propriedades como viscosidade não foram pedidas e não mudam a relação de continuidade (mudam perdas de carga, perfil de velocidade, etc., que não são pedidos aqui).

Passo 6

Resumo do procedimento que você deve usar na prova (muito prático):
  1. Identifique Q e \bar v.
  2. Use A=Q/\bar v para achar a área da seção.
  3. Para seção circular, use A=\pi d^{2}/4 e resolva para d.
  4. Para outra seção, calcule a nova área (p.ex. se d muda, A\propto d^{2}) e então \bar v = Q/A.
    Sempre cheque unidades e arredonde no final.
Força — você já tem um plano claro para fazer questões parecidas na prova!

Resposta

(a) d \approx 1{,}78\\ \mathrm{m}
(b) \bar v_{2} = 0{,}5\\ \mathrm{m/s}

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