Sejam
e
dois tensores lineares. Mostre que:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade
onde
e
são tensores lineares (isto é, operadores lineares). Informações dadas:
e
são lineares e a transposição está sendo tomada no sentido usual (adjunto no produto interno ou transposta de matrizes numa base ortonormal). A tarefa é provar a igualdade acima.
Passo 2
Definição e entendimento do que é a transposta (relembrando passo a passo).
Definição: seja um espaço vetorial com produto interno
. Para um operador linear
, define-se
como o único operador linear que satisfaz, para todos
,
Definição: seja
Explicando as notações:
é o produto interno (por exemplo o produto interno euclidiano),
são vetores quaisquer,
é a aplicação de
em
e
é a aplicação do operador transposto em
. A existência e unicidade de
valem em espaços de dimensão finita (é o que normalmente se usa em álgebra linear).
Passo 3
Estratégia do cálculo: vou mostrar que
para todo
. Pela unicidade do operador transposto isso implica
.
Seja
quaisquer. Começamos calculando
:
Agora aplicamos a definição da transposta de
: para todo
vale
. Tomando
e
obtemos
Passo 4
Continuando, agora aplicamos a definição da transposta de
à expressão obtida. Pela definição, para todo
vale
. Tomando
e
obtemos
Portanto, juntando os passos acima,
para todo
.
Passo 5
Conclusão formal: a igualdade anterior diz que o operador
satisfaz a propriedade que define o transposto de
. Pela unicidade do transposto (se dois operadores dão o mesmo resultado em
para todo
, então são iguais), segue
Passo 6
Comentário prático e exemplo numérico rápido (como verificar na prova): escolhendo uma base ortonormal e escrevendo
como matrizes
, a identidade fica
Exemplo com números (verificação por conta): tome
Calculando
e transpondo obtemos
. Por outro lado
e
, e
mesmo resultado. Isso ilustra a regra: ao transpor um produto, a ordem se inverte.]