Sejam boldsymbol{T} e boldsymbol{S} dois tensores lineares. Mostre que:
(\boldsymbol{T} \boldsymbol{S})^{\top}=\boldsymbol{S}^{\top} \boldsymbol{T}^{\top}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade
(\boldsymbol{T}\boldsymbol{S})^{\top}=\boldsymbol{S}^{\top}\boldsymbol{T}^{\top},
onde \boldsymbol{T} e \boldsymbol{S} são tensores lineares (isto é, operadores lineares). Informações dadas: \boldsymbol{T} e \boldsymbol{S} são lineares e a transposição está sendo tomada no sentido usual (adjunto no produto interno ou transposta de matrizes numa base ortonormal). A tarefa é provar a igualdade acima.

Passo 2

Definição e entendimento do que é a transposta (relembrando passo a passo).
Definição: seja V um espaço vetorial com produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle. Para um operador linear \boldsymbol{A}:V\to V, define-se \boldsymbol{A}^{\top} como o único operador linear que satisfaz, para todos x,y\in V,
\langle \boldsymbol{A}x, y\rangle = \langle x, \boldsymbol{A}^{\top} y\rangle.
Explicando as notações: \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto interno (por exemplo o produto interno euclidiano), x,y são vetores quaisquer, \boldsymbol{A}x é a aplicação de \boldsymbol{A} em x e \boldsymbol{A}^{\top}y é a aplicação do operador transposto em y. A existência e unicidade de \boldsymbol{A}^{\top} valem em espaços de dimensão finita (é o que normalmente se usa em álgebra linear).

Passo 3

Estratégia do cálculo: vou mostrar que \langle(\boldsymbol{T}\boldsymbol{S})x,y\rangle=\langle x,\boldsymbol{S}^{\top}\boldsymbol{T}^{\top}y\rangle para todo x,y. Pela unicidade do operador transposto isso implica (\boldsymbol{T}\boldsymbol{S})^{\top}=\boldsymbol{S}^{\top}\boldsymbol{T}^{\top}.
Seja x,y\in V quaisquer. Começamos calculando \langle(\boldsymbol{T}\boldsymbol{S})x,y\rangle:
\langle(\boldsymbol{T}\boldsymbol{S})x,y\rangle=\langle \boldsymbol{T}(\boldsymbol{S}x),y\rangle.
Agora aplicamos a definição da transposta de \boldsymbol{T}: para todo u,v vale \langle\boldsymbol{T}u,v\rangle=\langle u,\boldsymbol{T}^{\top}v\rangle. Tomando u=\boldsymbol{S}x e v=y obtemos
\langle \boldsymbol{T}(\boldsymbol{S}x),y\rangle=\langle \boldsymbol{S}x,\boldsymbol{T}^{\top}y\rangle.

Passo 4

Continuando, agora aplicamos a definição da transposta de \boldsymbol{S} à expressão obtida. Pela definição, para todo u,v vale \langle \boldsymbol{S}u,v\rangle=\langle u,\boldsymbol{S}^{\top}v\rangle. Tomando u=x e v=\boldsymbol{T}^{\top}y obtemos
\langle \boldsymbol{S}x,\boldsymbol{T}^{\top}y\rangle=\langle x,\boldsymbol{S}^{\top}(\boldsymbol{T}^{\top}y)\rangle.
Portanto, juntando os passos acima,
\langle(\boldsymbol{T}\boldsymbol{S})x,y\rangle=\langle x,\boldsymbol{S}^{\top}\boldsymbol{T}^{\top}y\rangle
para todo x,y\in V.

Passo 5

Conclusão formal: a igualdade anterior diz que o operador \boldsymbol{S}^{\top}\boldsymbol{T}^{\top} satisfaz a propriedade que define o transposto de \boldsymbol{T}\boldsymbol{S}. Pela unicidade do transposto (se dois operadores dão o mesmo resultado em \langle x,\cdot\rangle para todo x, então são iguais), segue
(\boldsymbol{T}\boldsymbol{S})^{\top}=\boldsymbol{S}^{\top}\boldsymbol{T}^{\top}.

Passo 6

Comentário prático e exemplo numérico rápido (como verificar na prova): escolhendo uma base ortonormal e escrevendo \boldsymbol{T},\boldsymbol{S} como matrizes T,S, a identidade fica
(TS)^{\top}=S^{\top}T^{\top}.
Exemplo com números (verificação por conta): tome
S=\begin{pmatrix}1&2\\[2pt]3&4\end{pmatrix},\qquad T=\begin{pmatrix}5&6\\[2pt]7&8\end{pmatrix}.
Calculando TS=\begin{pmatrix}23&34\\[2pt]31&46\end{pmatrix} e transpondo obtemos (TS)^{\top}=\begin{pmatrix}23&31\\[2pt]34&46\end{pmatrix}. Por outro lado S^{\top}=\begin{pmatrix}1&3\\[2pt]2&4\end{pmatrix} e T^{\top}=\begin{pmatrix}5&7\\[2pt]6&8\end{pmatrix}, e
S^{\top}T^{\top}=\begin{pmatrix}23&31\\[2pt]34&46\end{pmatrix},
mesmo resultado. Isso ilustra a regra: ao transpor um produto, a ordem se inverte.]

Resposta

(\boldsymbol{T}\boldsymbol{S})^{\top}=\boldsymbol{S}^{\top}\boldsymbol{T}^{\top}

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