Questão 5 Dados a, b, c e d números naturais, sabemos que
\frac{a}{b}<\frac{c}{d} \Leftrightarrow a d<b d
Com base nesta informação:
(a) Coloque as frações \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4} e \frac{4}{5} em ordem crescente.
(b) Coloque em ordem decrescente as frações \frac{2}{5}, \frac{3}{2}, \frac{6}{7} e \frac{4}{3}.
(c) Na condição dada em (*), mostre que a fração \frac{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}}{2} está entre a / b e c / d.

Passo 1

No enunciado temos a comparação de frações usando a propriedade
\frac{a}{b}<\frac{c}{d}\iff ad<bc,
e queremos:
(a) ordenar as frações \frac12,\frac23,\frac34,\frac45 em ordem crescente;
(b) ordenar as frações \frac25,\frac32,\frac67,\frac43 em ordem decrescente;
(c) mostrar que a média
M=\frac{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}}{2}
fica entre \frac{a}{b} e \frac{c}{d}.
Para (a) e (b) vamos usar produto cruzado; para (c) faremos uma comparação algébrica direta.

Passo 2

Para (a) comparamos frações vizinhas por produto cruzado:
1\cdot3<2\cdot2\implies \frac12<\frac23,
2\cdot4<3\cdot3\implies \frac23<\frac34,
3\cdot5<4\cdot4\implies \frac34<\frac45.
Logo, em ordem crescente:
\frac12,\\ \frac23,\\ \frac34,\\ \frac45.

Passo 3

Para (b) organizamos em decrescente começando pela maior e comparando pares:
3\cdot3>2\cdot4\implies \frac32>\frac43,
4\cdot7>3\cdot6\implies \frac43>\frac67,
6\cdot5>7\cdot2\implies \frac67>\frac25.
Assim, em ordem decrescente:
\frac32,\\ \frac43,\\ \frac67,\\ \frac25.

Passo 4

Para (c) seja
M=\frac{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}}{2}=\frac{ad+bc}{2bd}.
Usando ad<bc comparamos:
\frac{a}{b}<M\iff 2ad<ad+bc\iff ad<bc,
M<\frac{c}{d}\iff ad+bc<2bc\iff ad<bc.
Em ambos os casos a hipótese ad<bc garante que
\frac{a}{b}<M<\frac{c}{d}.

Resposta

(a) \dfrac12,\dfrac23,\dfrac34,\dfrac45
(b) \dfrac32,\dfrac43,\dfrac67,\dfrac25
(c) A média M=\dfrac{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}}{2} satisfaz
\frac{a}{b}<M<\frac{c}{d}.

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