Questão 3:

Dados os conjuntos A=\{1,2,3\} e B=\{2,3,4,5,6\} e a relação R=\{(x, y) \in A \times B: y=x+3\}.
a) Determine a relação R em forma de pares ordenados.
b) Construa um diagrama de flechas para a relação R.
c) Verifique se essa relação é uma função de A \mathrm{em} B. Em caso afirmativo, digamos função f, determine D_{f} e \operatorname{Im}_{f}.

Passo 1

O enunciado dá os conjuntos A=\{1,2,3\} e B=\{2,3,4,5,6\} e define a relação
R=\{(x,y)\in A\times B : y = x+3\}.
Pede-se:
a) listar todos os pares ordenados de R;
b) fazer um diagrama de flechas que represente R;
c) verificar se R é uma função de A em B e, em caso afirmativo, achar o domínio D_f e a imagem \operatorname{Im}_f.

Passo 2

Para cada elemento x de A calculamos y = x+3 e verificamos se esse y está em B:
  • Se x=1, então y=1+3=4, e 4\in B, logo (1,4)\in R.
  • Se x=2, então y=2+3=5, e 5\in B, logo (2,5)\in R.
  • Se x=3, então y=3+3=6, e 6\in B, logo (3,6)\in R.
    Portanto,
R = \{(1,4),\,(2,5),\,(3,6)\}.

Passo 3

No diagrama de flechas, representamos cada x\in A com uma seta apontando para o correspondente y\in B:
1 \longrightarrow 4,\quad 2 \longrightarrow 5,\quad 3 \longrightarrow 6.

Passo 4

Uma relação é função de A em B se a cada x\in A corresponde exatamente um y\in B. Aqui, cada elemento de A aparece uma única vez como primeiro componente de um par em R, portanto R é de fato uma função f\colon A\to B.
O domínio de f é todo o conjunto A, e a imagem de f é o conjunto dos valores de saída:
D_f = \{1,2,3\}, \qquad \operatorname{Im}_f = \{4,5,6\}.

Resposta

a) R = \{(1,4),\,(2,5),\,(3,6)\}.
b) Diagrama de flechas: 1\to4, 2\to5, 3\to6.
c) Sim, é função.
D_f = \{1,2,3\}.
\operatorname{Im}_f = \{4,5,6\}.

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