Questão 4:

O valor de um produto segue um decrescimento exponencial, e pode ser modelado pela função
V(t)=500 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{t}
onde \mathrm{V}(\mathrm{t}) representa o valor do produto após t dias.
a) Qual era o valor do produto no momento em que foi lançado, ou seja, quando t=0 ?
b) Qual será o valor do produto após 4 dias?
c) Após quantos dias o valor do produto será reduzido para 62,5 ?

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um decaimento exponencial descrito por
V(t)=500\cdot\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{t}
onde V(t) é o valor do produto após t dias. O que pedem é:
– (a) o valor inicial em t=0,
– (b) o valor em t=4,
– (c) para que valor de t a função atinge 62,5.
Para resolver, vamos usar propriedades de potências e, no caso (c), o fato de igualar potências de base \tfrac12.

Passo 2

Para obter o valor inicial basta substituir t=0. Como toda base diferente de zero elevada a zero vale 1, temos
V(0)=500\cdot\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{0}=500\cdot1=500.

Passo 3

Para saber o valor após 4 dias, basta pôr t=4. Como \bigl(\tfrac12\bigr)^{4}=\tfrac1{16},
V(4)=500\cdot\tfrac1{16}=31,25.

Passo 4

Agora queremos achar t tal que V(t)=62,5. Então
500\cdot\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{t}=62,5.
Divide ambos os lados por 500:
\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{t}=\frac{62,5}{500}=0,125=\frac18=\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{3}.
Como a base \tfrac12 é a mesma, basta igualar expoentes e concluímos
t=3.

Resposta

(a) 500
(b) 31,25
(c) 3 dias

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