Questão 4. Seja
o espaço vetorial das funções contínuas do intervalo
com valores reais. Sejam
e
os subespaços de
consistindo das funções pares e ímpares, respectivamente. Com respeito ao produto interno
mostre que
é o complemento ortogonal de
.
Passo 1
O enunciado define
,
(funções pares) e
(funções ímpares),
com produto interno
com produto interno
Precisamos mostrar que
Passo 2
Mostramos primeiro que qualquer
é ortogonal a todo
. De fato, se
é ímpar e
é par, então o produto
é função ímpar:
Como a integral de uma função ímpar em
é zero, segue
Logo
. Assim
.
Passo 3
Agora provamos que todo
é ímpar. Para isso, escrevemos
como soma de sua parte par e ímpar:
e então
Como
, vale
. Pela linearidade,
Mas
(produto de ímpar por par) e
. Logo
, o que implica
. Portanto
é ímpar e
. Assim
.
Resposta
Portanto
: o subespaço das funções ímpares é exatamente o complemento ortogonal do subespaço das funções pares.