Questão 4. Seja V=C[-1,1] o espaço vetorial das funções contínuas do intervalo [-1,1] com valores reais. Sejam E e O os subespaços de V consistindo das funções pares e ímpares, respectivamente. Com respeito ao produto interno
\langle f, g\rangle=\int_{-1}^{1} f(x) g(x) d x
mostre que O é o complemento ortogonal de E.

Passo 1

O enunciado define
\;V = C[-1,1],
\;E = \{f\in V \mid f(x)=f(-x)\} (funções pares) e
\;O = \{f\in V \mid f(x)=-f(-x)\} (funções ímpares),
com produto interno
\langle f,g\rangle = \int_{-1}^{1} f(x)\,g(x)\,dx.
Precisamos mostrar que
O = E^{\perp} =\{h\in V \mid \langle h,g\rangle=0\text{ para todo }g\in E\}.

Passo 2

Mostramos primeiro que qualquer f\in O é ortogonal a todo g\in E. De fato, se f é ímpar e g é par, então o produto f(x)\,g(x) é função ímpar:
\bigl(f(x)\,g(x)\bigr) = -f(-x)\,g(-x) = -\bigl(f\,g\bigr)(-x).
Como a integral de uma função ímpar em [-1,1] é zero, segue
\langle f,g\rangle =\int_{-1}^{1} f(x)\,g(x)\,dx =0.
Logo f\in E^{\perp}. Assim O\subseteq E^{\perp}.

Passo 3

Agora provamos que todo h\in E^{\perp} é ímpar. Para isso, escrevemos h como soma de sua parte par e ímpar:
h_e(x)=\tfrac{h(x)+h(-x)}{2}\quad\text{(par)}, \qquad h_o(x)=\tfrac{h(x)-h(-x)}{2}\quad\text{(ímpar)},í
e então
h = h_e + h_o,\quad h_e\in E,\;h_o\in O.
Como h\in E^{\perp}, vale \langle h,\,h_e\rangle=0. Pela linearidade,
0=\langle h,h_e\rangle =\langle h_e+h_o,h_e\rangle =\langle h_e,h_e\rangle+\langle h_o,h_e\rangle.
Mas \langle h_o,h_e\rangle=0 (produto de ímpar por par) e
\langle h_e,h_e\rangle=\|h_e\|^2\ge0. Logo \|h_e\|^2=0, o que implica h_e=0. Portanto h=h_o é ímpar e h\in O. Assim E^{\perp}\subseteq O.

Resposta

Portanto O = E^{\perp}: o subespaço das funções ímpares é exatamente o complemento ortogonal do subespaço das funções pares.

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