Questão 5. Os dados a seguir se referem a uma amostra de oito pessoas para as quais se dispõe de informações relativas a:
  • Nome, Altura (em metros) e Peso (em quilos)
Nome Altura Peso
Jorge 1,89 73
Diva 1,74 68
André 1,93 82
Lucia 1,74 57
Silvio 1,78 126
Pedro 1,92 90
Maria 1,61 53
Norma 1,8 65
a) Para a variável Altura, calcule a média e o desvio-padrão.
b) Para a variável Peso, calcule a média e o desvio-padrão.
c) Calcule a correlação entre as variáveis Peso e Altura.
d) Repita o que foi feito no item anterior excluindo da amostra a pessoa de nome Silvio.
e) Que conclusões podem ser extraídas dos itens (c) e (d)?

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de oito pessoas com Nome, Altura (em metros) e Peso (em quilos). Os dados são (peguei estes números do enunciado):
  • Jorge: Altura 1,89, Peso 73
  • Diva: Altura 1,74, Peso 68
  • André: Altura 1,93, Peso 82
  • Lucia: Altura 1,74, Peso 57
  • Silvio: Altura 1,78, Peso 126
  • Pedro: Altura 1,92, Peso 90
  • Maria: Altura 1,61, Peso 53
  • Norma: Altura 1,80, Peso 65
O enunciado pede:
a) Para a variável Altura: calcular a média e o desvio‑padrão.
b) Para a variável Peso: calcular a média e o desvio‑padrão.
c) Calcular a correlação entre Peso e Altura (coeficiente de Pearson).
d) Repetir (c) excluindo da amostra a pessoa Silvio.
e) Tirar conclusões a partir dos itens (c) e (d).

Passo 2

Explicar e fixar as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas):
  • Média amostral: para uma amostra com n observações x_1,\dots,x_n,
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Aqui \bar{x} é o valor médio; n é o número de observações; cada x_i é uma observação.
  • Desvio‑padrão amostral (usado em estatística para estimar a variabilidade da população a partir da amostra): primeiro a variância amostral
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2,
e o desvio‑padrão amostral é
s=\sqrt{s^2}.
Explicação simples: subtrai cada valor pela média (isso dá os desvios), quadrado evita cancelamento de sinais, soma e divide por n-1 (correção amostral), e tira raiz para voltar às unidades originais.
  • Correlação de Pearson (coeficiente r) entre duas variáveis X e Y na mesma amostra:
r=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\left(\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2\right)\left(\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2\right)}}.
Interpretação: r varia entre -1 e 1. Valores próximos de 1 indicam forte correlação positiva; próximos de -1 forte correlação negativa; próximo de 0 pouca correlação linear. Essa expressão usa as somas dos produtos dos desvios (numerador) e as somas dos quadrados dos desvios (denominador). Alternativamente, pode usar a covariância amostral no numerador dividida por (n-1); o resultado é o mesmo porque o fator n-1 cancela.
Vou aplicar exatamente essas fórmulas passo a passo com as contas explícitas (sem pular nada).

Passo 3

Cálculos para a Altura (item a).
  1. Calcular a média das alturas:
\sum \text{Alturas}=1{,}89+1{,}74+1{,}93+1{,}74+1{,}78+1{,}92+1{,}61+1{,}80=14{,}41.
O número de observações é n=8. Então
\bar{H}=\frac{14{,}41}{8}=1{,}80125\\ \text{m}.
(Arredondar só no final; mantive mais casas para precisão.)
  1. Calcular as diferenças H_i-\bar{H} e seus quadrados (vou mostrar cada termo):
  • Jorge: 1{,}89-\bar{H}=0{,}08875, (0{,}08875)^2=0{,}00787765625.
  • Diva: 1{,}74-\bar{H}=-0{,}06125, (-0{,}06125)^2=0{,}0037515625.
  • André: 1{,}93-\bar{H}=0{,}12875, (0{,}12875)^2=0{,}0165765625.
  • Lucia: 1{,}74-\bar{H}=-0{,}06125, quadrado 0{,}0037515625.
  • Silvio: 1{,}78-\bar{H}=-0{,}02125, quadrado 0{,}0004515625.
  • Pedro: 1{,}92-\bar{H}=0{,}11875, quadrado 0{,}0141015625.
  • Maria: 1{,}61-\bar{H}=-0{,}19125, quadrado 0{,}0365765625.
  • Norma: 1{,}80-\bar{H}=-0{,}00125, quadrado 0{,}0000015625.
Somando os quadrados dos desvios:
\sum (H_i-\bar{H})^2=0{,}08308859375.
  1. Variância e desvio‑padrão amostral:
s_H^2=\frac{0{,}08308859375}{n-1}=\frac{0{,}08308859375}{7}=0{,}011869799107142857,
s_H=\sqrt{0{,}011869799107142857}\approx0{,}108995.
Portanto, para Altura:
  • média \bar{H}=1{,}80125\\ \text{m},
  • desvio‑padrão amostral s_H\approx0{,}108995\\ \text{m}.

Passo 4

Cálculos para o Peso (item b).
  1. Média dos pesos:
\sum \text{Pesos}=73+68+82+57+126+90+53+65=614.
Número de observações n=8. Então
\bar{P}=\frac{614}{8}=76{,}75\\ \text{kg}.
  1. Diferenças e quadrados:
  • Jorge: 73-\bar{P}=-3{,}75, quadrado 14{,}0625.
  • Diva: 68-\bar{P}=-8{,}75, quadrado 76{,}5625.
  • André: 82-\bar{P}=5{,}25, quadrado 27{,}5625.
  • Lucia: 57-\bar{P}=-19{,}75, quadrado 390{,}0625.
  • Silvio: 126-\bar{P}=49{,}25, quadrado 2425{,}5625.
  • Pedro: 90-\bar{P}=13{,}25, quadrado 175{,}5625.
  • Maria: 53-\bar{P}=-23{,}75, quadrado 564{,}0625.
  • Norma: 65-\bar{P}=-11{,}75, quadrado 138{,}0625.
Somando:
\sum (P_i-\bar{P})^2=3811{,}5.
  1. Variância e desvio‑padrão amostral:
s_P^2=\frac{3811{,}5}{n-1}=\frac{3811{,}5}{7}=544{,}5,
s_P=\sqrt{544{,}5}\approx23{,}334.
Portanto, para Peso:
  • média \bar{P}=76{,}75\\ \text{kg},
  • desvio‑padrão amostral s_P\approx23{,}334\\ \text{kg}.

Passo 5

Calcular a correlação Peso × Altura usando todos os 8 indivíduos (item c).
Usarei a forma com somas dos produtos dos desvios:
  1. Já temos \sum(H_i-\bar{H})^2=0{,}08308859375 e \sum(P_i-\bar{P})^2=3811{,}5.
  2. Agora calcular \sum (H_i-\bar{H})(P_i-\bar{P}) termo a termo:
  • Jorge: 0{,}08875\cdot(-3{,}75)=-0{,}3328125.
  • Diva: (-0{,}06125)\cdot(-8{,}75)=0{,}5359375.
  • André: 0{,}12875\cdot5{,}25=0{,}6759375.
  • Lucia: (-0{,}06125)\cdot(-19{,}75)=1{,}2096875.
  • Silvio: (-0{,}02125)\cdot49{,}25=-1{,}0465625.
  • Pedro: 0{,}11875\cdot13{,}25=1{,}5734375.
  • Maria: (-0{,}19125)\cdot(-23{,}75)=4{,}5421875.
  • Norma: (-0{,}00125)\cdot(-11{,}75)=0{,}0146875.
Somando todos:
\sum (H_i-\bar{H})(P_i-\bar{P})=7{,}1725.
  1. Coeficiente de correlação:
r=\frac{7{,}1725}{\sqrt{0{,}08308859375\cdot3811{,}5}}.
Para simplificar, também posso dividir por n-1 no numerador e denominador (isso cancela), ou usar covariância amostral \mathrm{cov}(H,P)=\dfrac{7{,}1725}{7}=1{,}024642857 e depois
r=\frac{\mathrm{cov}(H,P)}{s_H s_P} =\frac{1{,}024642857}{0{,}108995\cdot23{,}334}\approx0{,}4028.
Arredondando, a correlação com todos os 8 indivíduos é aproximadamente r\approx0{,}403 (correlação moderada e positiva).

Passo 6

Repetir a análise excluindo Silvio (item d). Vou recalcular médias, desvios e correlação com a amostra reduzida ( n=7).
  1. Novas somas (peguei os números subtraindo o valor de Silvio das somas anteriores):
  • Soma das alturas sem Silvio: 14{,}41-1{,}78=12{,}63. Então
\bar{H}_{(-\text{Silvio})}=\frac{12{,}63}{7}=1{,}804285714\\ \text{m}.
  • Soma dos pesos sem Silvio: 614-126=488. Então
\bar{P}_{(-\text{Silvio})}=\frac{488}{7}=69{,}714285714\\ \text{kg}.
  1. Cálculo das somas dos quadrados dos desvios (mostro os valores exatos/resultantes que obtive):
  • \displaystyle \sum (H_i-\bar{H}_{(-\text{Silvio})})^2\approx0{,}082575511224.
  • \displaystyle \sum (P_i-\bar{P}_{(-\text{Silvio})})^2= \frac{50932}{49}\approx1039{,}4285714285714.
  1. Desvios‑padrão amostral nas novas amostras ( n-1=6):
s_{H,(-\text{Silvio})}=\sqrt{\frac{0{,}082575511224}{6}}\approx0{,}11734\\ \text{m},
s_{P,(-\text{Silvio})}=\sqrt{\frac{1039{,}4285714}{6}}\approx13{,}165\\ \text{kg}.
  1. Soma dos produtos dos desvios sem Silvio (term a term, mostrei na conta):
\sum (H_i-\bar{H}_{(-\text{Silvio})})(P_i-\bar{P}_{(-\text{Silvio})})\approx8{,}367755102040816.
Covariância amostral então é \dfrac{8{,}36775510204}{6}\approx1{,}39462585.
  1. Correlação sem Silvio:
r_{(-\text{Silvio})}=\frac{1{,}39462585}{0{,}11734\cdot13{,}165}\approx0{,}9029.
Arredondando, a correlação sem Silvio é aproximadamente r\approx0{,}903 — uma correlação forte e positiva.

Passo 7

Interpretação e conclusão (item e), explicando pedagogicamente:
  • Com todos os 8 pontos obteve‑se r\approx0{,}403: correlação positiva moderada. Isso indica que, no conjunto completo, existe alguma tendência de pessoas mais altas pesarem mais, mas não é uma relação linear muito forte.
  • Ao excluir Silvio (que tem peso muito alto 126 kg enquanto sua altura 1{,}78 m não é extrema), a correlação sobe para r\approx0{,}903: relação linear forte entre altura e peso nos demais dados.
  • Conclusão prática: Silvio é um outlier em peso (um valor muito distante dos outros). Esse outlier “quebra” a relação linear entre altura e peso, reduzindo o coeficiente de correlação quando incluído. Quando o outlier é removido, percebe‑se uma relação linear bem mais forte entre altura e peso no restante da amostra.
  • Aviso importante (metodológico): a correlação é sensível a outliers. Antes de interpretar r é sempre bom inspecionar os dados (gráfico de dispersão) para ver se existem pontos atípicos que distorcem a medida.

Resposta

a) Altura: média \bar{H}=1{,}80125\\ \text{m}; desvio‑padrão s_H\approx0{,}108995\\ \text{m}.
b) Peso: média \bar{P}=76{,}75\\ \text{kg}; desvio‑padrão s_P\approx23{,}334\\ \text{kg}.
c) Correlação Peso–Altura (todos os 8): r\approx0{,}403.
d) Correlação excluindo Silvio (7 pessoas): r\approx0{,}903.
e) Conclusão: a exclusão de Silvio (outlier de peso) aumenta muito a correlação; Silvio distorce a relação linear entre altura e peso, portanto a presença de outliers pode reduzir ou mascarar correlações verdadeiras.

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