(Questão 3) Dados os vetores A=-4 k e B=i+j+2 k :
Calcule o ângulo entre os dois vetores.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos dois vetores
A = -4,k e B = i + j + 2,k
e queremos achar o ângulo entre eles.
Isso cai em “produto escalar e norma de vetores”:
  • Produto escalar serve pra relacionar duas setinhas (vetores).
  • Norma (ou módulo) é o tamanho de cada vetor.
    Vamos usar a fórmula
costheta = AcdotB|A|;|B|

Passo 2

Primeiro, extrair as componentes de cada vetor no formato A = (0,,0,,-4), B = (1,,1,,2) .
AcdotB = Ax Bx + Ay By + Az Bz
Agora calculamos o produto escalar, que é
AcdotB = 0cdot 1 + 0cdot1 + (-4)cdot2 = -8
Substituindo:

Passo 3

Próximo passo: norma (ou módulo) de cada vetor.
A norma de |A| = raizAx^2 + Ay^2 + Az^2 é
|A| = raiz0^2 + 0^2 + (-4)^2 = raiz16 = 4
Logo,
|B| = raiz1^2 + 1^2 + 2^2 = raiz1+1+4 = raiz6
E para :

Passo 4

Hora de montar o cosseno do ângulo:
costheta = AcdotB|A|;|B| = -84 ,raiz6 = -84raiz6 = -2raiz6 = -raiz63(racionalizando)

Passo 5

Pra achar o ângulo, aplicamos arco cosseno:
theta = arccos!l(-tfracraiz63r)
Se você colocar na calculadora em graus, dá aproximadamente
theta approx 144,7^circ

Resposta

O ângulo entre e é .

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