Esta questão se dedica ao cálculo de integrais definidas usando o Teorema Fundamental do Cálculo e os métodos de substituição de variáveis e de integração por partes.
integralxi^xf d x(1-3 x^2+4 x^3),

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integralxi^xfl(1 - 3x^2 + 4x^3r),dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo e as regras de integração. O conteúdo principal aqui é a aplicação da regra do poder para polinômios, que é um caso simples do método de substituição.

Passo 2

Vamos encontrar uma primitiva F(x) de f(x)=1 - 3x^2 + 4x^3 termo a termo:
integral 1,dx = x, integral -3x^2,dx = -3cdotx^33 = -x^3, integral 4x^3,dx = 4cdotx^44 = x^4
Portanto, uma antiderivada é
F(x) = x - x^3 + x^4

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
integralxi^xfl(1 - 3x^2 + 4x^3r),dx = F(xf) - F(xi)
Substituindo,
F(xf) - F(xi) = l(xf - xf^3 + xf^4r) - l(xi - xi^3 + xi^4r)

Resposta

integralxi^xfl(1 - 3x^2 + 4x^3r),dx = l(xf - xf^3 + xf^4r) - l(xi - xi^3 + xi^4r)

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