Esta questão se dedica ao cálculo de integrais definidas usando o Teorema Fundamental do Cálculo e os métodos de substituição de variáveis e de integração por partes.
integralxi^xf d x alpharaiz1-beta x^2,

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integralxi^xf alpharaiz1-beta x^2,dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo e o método de substituição de variável. Vamos tratar alpha e beta como constantes, assumir beta>0 para que 1-beta x^2>0 no intervalo de integração, e usar uma mudança de variável que transforme a raiz numa forma conhecida.

Passo 2

Como alpha é constante em relação a x, podemos colocá-la fora do integral:
integralxi^xf alpharaiz1-beta x^2,dx =alpha integralxi^xf 1raiz1-beta x^2,dx

Passo 3

Fazemos a substituição
u = raizbeta,x,
de modo que
du = raizbeta,dx Longrightarrow dx = duraizbeta

Passo 4

Quando x=xi, temos ui=raizbeta,xi, e quando x=xf, uf=raizbeta,xf. Substituindo na integral,
alpha integralxi^xf 1raiz1-beta x^2,dx = alpha integralui^uf 1raiz1-u^2,duraizbeta = alpharaizbetaintegralui^uf 1raiz1-u^2,du

Passo 5

A integral padrão
integral 1raiz1-u^2,du
é conhecida e vale arcsin(u). Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
integralui^uf 1raiz1-u^2,du =l[arcsin(u)r]ui^uf =arcsin(uf)-arcsin(ui)

Passo 6

Voltando à variável x,
uf=raizbeta,xf, ui=raizbeta,xi,
então
integralxi^xf alpharaiz1-beta x^2,dx =alpharaizbetal[arcsin(raizbeta,xf)-arcsin(raizbeta,xi)r]

Resposta

boxed integralxi^xf alpharaiz1-beta x^2,dx =alpharaizbetal(arcsin(raizbeta,xf)-arcsin(raizbeta,xi)r)

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