Questão:
(a) Deduza a fórmula para o volume de uma esfera de raio r utilizando o método das fatias. Desenhe a fatia utilizada na dedução.

Passo 1

A questão pede para deduzir a fórmula do volume de uma esfera de raio r usando o método das fatias, que é um problema de cálculo de volume por integração de seções transversais. Vamos usar o conceito de fatia (disco), área de círculo e integração em x para resolver.

Passo 2

Desenho da fatia transversal: imagine um plano horizontal cortando a esfera a uma altura x em relação ao centro. A interseção é um disco de raio raizr^2 - x^2 e espessura dx. Um esquema simplificado:

/ \
/ \
| ___ | ← disco de raio raizr^2 - x^2, espessura dx
\ /
_______/

Passo 3

A área desse disco, em função de x, é dada por
A(x)=pil(raizr^2 - x^2r)^2=pil(r^2 - x^2r)

Passo 4

O volume de uma fatia elementar (disco) de espessura dx é
dV=A(x),dx=pil(r^2 - x^2r),dx

Passo 5

Para obter o volume total da esfera, integramos de -r a r:
V=integral-r^rdV=integral-r^rpil(r^2 - x^2r)dx

Passo 6

Agora calculamos a integral:
V=piintegral-r^r(r^2 - x^2)dx=pil[r^2x-tfracx^33r]-r^r
Substituindo os limites, obtemos
V=pil( (r^3-tfracr^33)-(-r^3+tfracr^33)r)=pil(2r^3-tfrac2r^33r)=tfrac43pi r^3

Resposta

V=tfrac43pi r^3

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