Questão:
(a) Deduza a fórmula para o volume de uma esfera de raio r utilizando o método das fatias. Desenhe a fatia utilizada na dedução.
(a) Deduza a fórmula para o volume de uma esfera de raio r utilizando o método das fatias. Desenhe a fatia utilizada na dedução.
Passo 1
A questão pede para deduzir a fórmula do volume de uma esfera de raio r usando o método das fatias, que é um problema de cálculo de volume por integração de seções transversais. Vamos usar o conceito de fatia (disco), área de círculo e integração em x para resolver.
Passo 2
Desenho da fatia transversal: imagine um plano horizontal cortando a esfera a uma altura x em relação ao centro. A interseção é um disco de raio
e espessura
. Um esquema simplificado:
/ \
/ \
| ___ | ← disco de raio , espessura
\ /
_______/
/ \
| ___ | ← disco de raio
\ /
_______/
Passo 3
A área desse disco, em função de x, é dada por
Passo 4
O volume de uma fatia elementar (disco) de espessura
é
Passo 5
Para obter o volume total da esfera, integramos de
a
:
Passo 6
Agora calculamos a integral:
Substituindo os limites, obtemos