Questão 6.4
a) Defina base e dimensão de espaço vetorial
Considere um subespaço vetorial não trivial da questão anterior, denotado por W .
b) Determine uma base \alpha e a dimensão vetorial de W .
c) Determine se os vetores v=(0,1,-1,2), w=(3,-2,0,5) pertencem a W .
d) Determine se o conjunto \beta=\{\boldsymbol{v}, \boldsymbol{w}\} é uma base ou pode ser parte de uma base do subespaço W. Justifique.
e) Calcule o ângulo entre v e w, em graus com precisão de uma casa decimal.

Passo 1

O enunciado pede as seguintes coisas:
  1. (a) Definir base e dimensão de espaço vetorial.
  2. (b) Para um subespaço vetorial não trivial W (que vem da questão anterior), determinar uma base \alpha e a dimensão de W.
  3. (c) Verificar se os vetores \boldsymbol{v}=(0,1,-1,2) e \boldsymbol{w}=(3,-2,0,5) pertencem a W.
  4. (d) Dizer se \beta=\{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} é uma base de W ou pode ser parte de uma base de W, justificando.
  5. (e) Calcular o ângulo entre \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} em graus com uma casa decimal.
Informações dadas explicitamente:
  • Os vetores \boldsymbol{v}=(0,1,-1,2) e \boldsymbol{w}=(3,-2,0,5).
Informação que falta e que é essencial:
  • A definição concreta do subespaço W (por exemplo, se W foi apresentado como o span de vetores, ou como o espaço solução de um sistema linear, etc.) não foi enviada. Como W é referido como “o subespaço da questão anterior”, preciso dessa definição para responder de forma exacta as partes (b), (c) e para confirmar (d).
    Portanto: sem a descrição explícita de W não é possível determinar concretamente a base de W em (b) nem afirmar se \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} pertencem a W em (c). As partes que dependem apenas de \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} (como verificar independência linear entre eles e calcular o ângulo) podem ser feitas.

Passo 2

(a) Definições — vou explicar de forma didática e com exemplos simples.
Definição de base:
  • Uma sequência (ou conjunto ordenado) de vetores \alpha=\{\boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2,\dots,\boldsymbol{u}_k\} é uma base de um espaço vetorial V se duas condições ocorrerem simultaneamente:
    1. \alpha gera V: todo vetor de V pode ser escrito como combinação linear dos vetores de \alpha. Em forma: para todo \boldsymbol{x}\in V existem escalares c_1,\dots,c_k tais que \boldsymbol{x}=c_1\boldsymbol{u}_1+\cdots+c_k\boldsymbol{u}_k.
    2. \alpha é linearmente independente: a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial c_1=\cdots=c_k=0. Em forma: se c_1\boldsymbol{u}_1+\cdots+c_k\boldsymbol{u}_k=\boldsymbol{0} então todos os c_i=0.
Intuição simples: uma base é um conjunto mínimo de “direções” que gera todo o espaço sem redundância. Por exemplo, no plano \mathbb{R}^2 uma base típica é \{(1,0),(0,1)\}.
Definição de dimensão:
  • A dimensão de um espaço vetorial V, denotada \dim(V), é o número de vetores em qualquer base de V. Uma propriedade importante: todas as bases de um mesmo espaço vetorial têm o mesmo número de vetores, por isso a dimensão é bem definida.
  • Exemplos: \dim(\mathbb{R}^2)=2, \dim(\mathbb{R}^4)=4. Se W é um subespaço de \mathbb{R}^4 e tem uma base com dois vetores, então \dim(W)=2.

Passo 3

(b) Como encontrar uma base e a dimensão de um subespaço W — método prático (explicação passo-a-passo que você pode aplicar na prova)
Situações típicas e método:
  1. Se W é dado como span de vetores, por exemplo
W=\operatorname{span}\{\boldsymbol{u}_1,\dots,\boldsymbol{u}_m\},
então para obter uma base de W você deve eliminar vetores redundantes (linearmente dependentes). Procedimento:
  • Coloque os vetores \boldsymbol{u}_1,\dots,\boldsymbol{u}_m como colunas em uma matriz A.
  • Faça eliminação de Gauss (redução por linhas) para encontrar a dimensão do espaço das colunas (posto). As colunas pivôs correspondem a um subconjunto independente dos vetores originais que formam uma base de W.
  • A dimensão \dim(W) é o número de colunas pivôs (o posto).
  1. Se W é descrito como conjunto solução de um sistema linear (por exemplo, W=\{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n\mid M\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\}):
  • Faça eliminação de Gauss sobre M para encontrar os graus de liberdade (variáveis livres).
  • Expresse as soluções em função das variáveis livres; os vetores que multiplicam cada variável livre dão uma base para o espaço nulo. A dimensão é o número de variáveis livres (ou n-\operatorname{rank}(M)).
Observação importante: sem a descrição concreta de W não posso fornecer uma base \alpha nem a dimensão exata. Se você me mandar a definição de W (por exemplo, os vetores que geram W, ou as equações que definem W), eu aplico esse procedimento e te mostro tudo passo a passo.

Passo 4

(c) Como testar se um vetor pertence a W e conclusão para \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}
Métodos para testar pertença:
  1. Se W é dado como span \operatorname{span}\{\boldsymbol{u}_1,\dots,\boldsymbol{u}_m\}: verificar se existe uma solução para
c_1\boldsymbol{u}_1+\cdots+c_m\boldsymbol{u}_m=\boldsymbol{x},
ou seja, montar a matriz com colunas \boldsymbol{u}_1,\dots,\boldsymbol{u}_m e resolver o sistema linear para os coeficientes c_i. Se existir solução, \boldsymbol{x}\in W.
  1. Se W é o núcleo de uma matriz M: verificar se M\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}. Se sim, \boldsymbol{x}\in W.
Aplicando ao caso concreto:
  • Você me deu \boldsymbol{v}=(0,1,-1,2) e \boldsymbol{w}=(3,-2,0,5), mas não forneceu a descrição de W. Portanto, não há como determinar aqui, de forma concreta, se \boldsymbol{v} ou \boldsymbol{w} pertencem a W.
  • Se você me disser como W foi definido na questão anterior (por exemplo os vetores geradores de W ou as equações que definem W), eu testo explicitamente e te mostro os cálculos passo a passo.

Passo 5

(d) A pergunta sobre [\beta={\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}}): checagem de independência linear e discussão se é base ou parte de base
Primeira coisa que podemos fazer sem conhecer W: verificar se \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} são linearmente independentes em \mathbb{R}^4. Se forem independentes, então, caso ambos pertençam a W, eles formam um conjunto independente de W e portanto podem ser estendidos a uma base de W (ou já são base se \dim(W)=2).
Vamos checar a independência de \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w}. Precisamos ver se existem escalares a,b tais que
a\boldsymbol{v}+b\boldsymbol{w}=\boldsymbol{0}.
Escrevendo componente a componente:
a\cdot 0 + b\cdot 3 = 0,\quad a\cdot 1 + b\cdot (-2) = 0,\quad a\cdot(-1)+b\cdot 0=0,\quad a\cdot 2 + b\cdot 5 = 0.
Isto é, o sistema
\begin{cases} 3b = 0,\\[4pt] a-2b=0,\\[4pt] - a = 0,\\[4pt] 2a+5b=0. \end{cases}
Da terceira equação vem a=0\]. Substituindo \(a=0 na primeira equação obtemos 3b=0 logo b=0. As outras equações ficam satisfeitas com a=b=0. Portanto a única solução é a solução trivial a=b=0. Conclusão: \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} são linearmente independentes.
Consequências:
  • Como \{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} é um conjunto independente de dois vetores em \mathbb{R}^4, ele pode ser parte de uma base de qualquer subespaço W que os contenha, desde que \dim(W)\ge 2.
  • Para afirmar que \beta é uma base de W precisamos de duas coisas adicionais:
    1. \boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\in W (pertencimento),
    2. \operatorname{span}\{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\}=W (eles geram todo W), o que equivale a \dim(W)=2 e inclusão.
  • Sem a definição concreta de W não posso afirmar se \beta é de fato base de W. Posso afirmar, porém, que:
    • Se ambos pertencem a W e \dim(W)=2 então \beta é base de W.
    • Se ambos pertencem a W e \dim(W)>2 então \beta é um conjunto independente dentro de W e pode ser estendido a uma base de W adicionando vetores apropriados.
Se quiser, eu mostro como estender \beta a uma base de W (método prático: aplicar Gram–Schmidt se quiser uma base ortonormal, ou completar por vetores geradores e aplicar eliminação de Gauss) — me envie a descrição de W e eu faço.]

Passo 6

(e) Cálculo do ângulo entre \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w}
Fórmula e explicação:
  • O ângulo \theta entre dois vetores \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} é dado por
\cos(\theta)=\frac{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{w}}{\|\boldsymbol{v}\|\;\|\boldsymbol{w}\|},
onde \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{w} é o produto interno (produto escalar) e \|\boldsymbol{v}\| é a norma (comprimento) do vetor dado por \|\boldsymbol{v}\|=\sqrt{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v}}.
Cálculos passo a passo:
  1. Produto escalar:
\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{w}=0\cdot 3 + 1\cdot(-2) + (-1)\cdot 0 + 2\cdot 5 = -2 + 0 + 10 = 8.
  1. Normas:
\|\boldsymbol{v}\|=\sqrt{0^2+1^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}.
\|\boldsymbol{w}\|=\sqrt{3^2+(-2)^2+0^2+5^2}=\sqrt{9+4+25}=\sqrt{38}.
  1. Cosseno do ângulo:
\cos(\theta)=\frac{8}{\sqrt{6}\sqrt{38}}=\frac{8}{\sqrt{228}}.
Podemos simplificar \sqrt{228}=\sqrt{4\cdot 57}=2\sqrt{57}, então
\cos(\theta)=\frac{8}{2\sqrt{57}}=\frac{4}{\sqrt{57}}.
  1. Ângulo \theta em graus:
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{4}{\sqrt{57}}\right).
Numericamente, \frac{4}{\sqrt{57}}\approx 0,529998, e
\theta\approx 58{,}0^\circ
(ângulo arredondado para uma casa decimal).

Resposta

(a) Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto \alpha=\{\boldsymbol{u}_1,\dots,\boldsymbol{u}_k\} que gera V e é linearmente independente. A dimensão \dim(V) é o número de vetores em qualquer base de V.
(b) Não é possível determinar uma base \alpha nem a dimensão de W sem a definição explícita de W (por exemplo, vetores geradores de W ou equações que o definam).
(c) Não é possível afirmar se \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w} pertencem a W sem a definição concreta de W. (Método para testar: verificar se satisfazem as equações que definem W ou se são combinações lineares dos vetores geradores de W.)
(d) \beta=\{\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\} é um conjunto linearmente independente (verificamos que a única combinação linear que dá \boldsymbol{0} é trivial). Logo, se ambos pertencerem a W e \dim(W)=2, então \beta é base de W. Se ambos pertencerem a W e \dim(W)>2, então \beta não é base mas pode ser parte de uma base de W. Sem a descrição de W não dá para afirmar se \beta é efetivamente base de W.
(e) Ângulo entre \boldsymbol{v} e \boldsymbol{w}: 58{,}0^\circ.

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