Questão 5.1
a) Defina conjunto de vetores linearmente independentes (l.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.). Considere três vetores v, w, u \in \mathbb{R}^{n} não nulos e dois ortogonais (i.e., v \perp w, v \perp u e w \perp u ).
b) Mostre que v, w, u são linearmente independentes.
c) Os vetores 3 v+w, v+2 u e 2 w+u são linearmente independentes? Justifique.
d) Os vetores v-u, 2 w-v e u-3 w são linearmente independentes? Justifique.
e) Supondo que \mathrm{v}, \mathrm{w}, \mathrm{u} são unitários, calcule o ângulo entre 3 v+u e w+2 u, em graus com uma casa decimal.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que é dado).
  • O enunciado pede (a) definir conjunto de vetores linearmente independentes (l.i.) e linearmente dependentes (l.d.); (b) mostrar que três vetores não nulos v,w,u\in\mathbb{R}^n que são dois a dois ortogonais (i.e., v\perp w,\;v\perp u,\;w\perp u) são linearmente independentes; (c) decidir se os vetores 3v+w,\;v+2u,\;2w+u são l.i.; (d) decidir se os vetores v-u,\;2w-v,\;u-3w são l.i.; (e) supondo que v,w,u são unitários (norma 1), calcular o ângulo entre 3v+u e w+2u em graus com uma casa decimal.
  • Informações dadas: v,w,u\in\mathbb{R}^n são não nulos e mutuamente ortogonais; em (e) há a hipótese adicional de que \|v\|=\|w\|=\|u\|=1.
  • Não há figura nem mais dados numéricos. A resolução deve usar apenas a ortogonalidade e as propriedades do produto interno (produto escalar) em \mathbb{R}^n.

Passo 2

Definições pedidas em (a) — o que significa linearmente independente e linearmente dependente (explicação didática).
  • Definição de conjunto linearmente independente: um conjunto de vetores \{x_1,x_2,\dots,x_k\}\subset\mathbb{R}^n é dito linearmente independente se a única forma de escrever a combinação linear
\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_k x_k = 0
com escalares \alpha_i\in\mathbb{R} é tomar todos os coeficientes iguais a zero, isto é, \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_k=0.
  • Intuição: os vetores não têm redundância; nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros.
  • Definição de conjunto linearmente dependente: o conjunto \{x_1,\dots,x_k\} é linearmente dependente se existem escalares, nem todos nulos, tal que
\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 + \cdots + \alpha_k x_k = 0
com pelo menos um \alpha_i\neq 0. Nesse caso, pelo menos um vetor é combinação linear dos demais.
  • Observação prática: para três vetores, basta checar se a única solução para \alpha v+\beta w+\gamma u=0 é \alpha=\beta=\gamma=0. Se houver solução não-trivial, são dependentes.

Passo 3

Prova de (b): mostrar que v,w,u mutuamente ortogonais e não nulos são linearmente independentes — passo a passo com ensino do método.
  • Estratégia (expliquei por que funciona): a ideia é usar o produto interno (dot product) para isolar coeficientes. Propriedades que vamos usar:
    • Linearidade em cada argumento: (a x + b y)\cdot z = a(x\cdot z) + b(y\cdot z) para escalares a,b.
    • Ortogonalidade: se x\perp y então x\cdot y = 0.
    • Se x\neq 0 então x\cdot x = \|x\|^2>0.
  • Começamos assumindo uma combinação linear nula e mostramos que os coeficientes devem ser zero. Seja
\alpha v + \beta w + \gamma u = 0.
Fazemos produto escalar dessa igualdade com v. Pela linearidade:
(\alpha v + \beta w + \gamma u)\cdot v = \alpha (v\cdot v) + \beta (w\cdot v) + \gamma (u\cdot v).
Como v\perp w e v\perp u, temos w\cdot v=0 e u\cdot v=0. Logo
\alpha (v\cdot v) = 0.
Como v é não nulo temos v\cdot v=\|v\|^2>0, então \alpha=0.
  • Repetimos o mesmo raciocínio fazendo produto escalar com w:
(\alpha v + \beta w + \gamma u)\cdot w = \beta (w\cdot w) = 0 \implies \beta=0,
pois w\cdot w>0.
  • E com u:
(\alpha v + \beta w + \gamma u)\cdot u = \gamma (u\cdot u) = 0 \implies \gamma=0.
  • Conclusão: os únicos coeficientes possíveis são \alpha=\beta=\gamma=0, portanto \{v,w,u\} é linearmente independente.
  • Observação didática: esse método funciona sempre que temos um sistema de vetores mutuamente ortogonais não nulos — o produto interno “separa” cada coeficiente.

Passo 4

Parte (c): verificar se 3v+w,\;v+2u,\;2w+u são linearmente independentes — explicação com representação coordenada na base ortogonal e cálculo do determinante 3×3 (método prático).
  • Como v,w,u são mutuamente ortogonais e não nulos, eles são l.i. e podemos trabalhar com suas “coordenadas” na base \{v,w,u\}. Para isso expressamos cada vetor dado como combinação dos três:
    • 3v+w = 3\,v + 1\,w + 0\,u tem coordenadas \begin{pmatrix}3\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} na ordem (v,w,u).
    • v+2u = 1\,v + 0\,w + 2\,u tem coordenadas \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix}.
    • 2w+u = 0\,v + 2\,w + 1\,u tem coordenadas \begin{pmatrix}0\\\ 2\\\ 1\end{pmatrix}.
  • Agora, três vetores são l.i. se e somente se a matriz cujas colunas são essas coordenadas tem determinante não nulo (interpretação: as colunas são linearmente independentes no espaço das coordenadas).
  • Montamos a matriz M cujas colunas são as coordenadas:
M = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
  • Vamos calcular o determinante de M usando a expansão pela primeira linha (método prático para 3×3). A regra: para
\begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix},
temos \det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg). Aplicando a M:
  • Primeiro termo: 3 \cdot \det\begin{pmatrix}0 & 2\\[2pt] 2 & 1\end{pmatrix} = 3(0\cdot1 - 2\cdot2) = 3( -4) = -12.
  • Segundo termo: -1 \cdot \det\begin{pmatrix}1 & 2\\[2pt] 0 & 1\end{pmatrix} = -1(1\cdot1 - 2\cdot0) = -1(1) = -1.
  • Terceiro termo: 0 vezes algo é 0.
  • Somando: \det M = -12 -1 = -13.
  • Como \det M = -13 \neq 0, as colunas (portanto os vetores originais 3v+w,\;v+2u,\;2w+u) são linearmente independentes.
  • Conclusão: Sim, esses três vetores são linearmente independentes.]

Passo 5

Parte (d): verificar se v-u,\;2w-v,\;u-3w são linearmente independentes — mesma técnica coordenada + cálculo detalhado.
  • Expresse cada vetor nas coordenadas da base (v,w,u):
    • v-u = 1\,v + 0\,w + (-1)\,u coordenadas \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\end{pmatrix}.
    • 2w-v = (-1)\,v + 2\,w + 0\,u coordenadas \begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ 0\end{pmatrix}.
    • u-3w = 0\,v + (-3)\,w + 1\,u coordenadas \begin{pmatrix}0\\\ -3\\\ 1\end{pmatrix}.
  • Montamos a matriz N com essas colunas:
N = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & -3\\[4pt] -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
  • Calculamos \det N pela expansão pela primeira linha:
    • Primeiro termo: 1 \cdot \det\begin{pmatrix}2 & -3\\[2pt] 0 & 1\end{pmatrix} = 1(2\cdot1 - (-3)\cdot0) = 1\cdot 2 = 2.
    • Segundo termo: -(-1) \cdot \det\begin{pmatrix}0 & -3\\[2pt] -1 & 1\end{pmatrix}. Observe o sinal: a fórmula é -b\cdot\det(\dots), mas b=-1 então -b = +1. Calculamos o menor: 0\cdot1 - (-3)\cdot(-1) = 0 - 3 = -3. Multiplicando por +1 -3.
    • Terceiro termo: 0 vezes algo é 0.
  • Somando: \det N = 2 + (-3) = -1.
  • Como \det N = -1 \neq 0, as colunas são linearmente independentes, logo os vetores v-u,\;2w-v,\;u-3w são linearmente independentes.
  • Conclusão: Sim, esses três vetores também são linearmente independentes.]

Passo 6

Parte (e): calcular o ângulo entre 3v+u e w+2u supondo v,w,u unitários — passo a passo com fórmulas e contas.
  • Fórmula do ângulo: para vetores a e b em \mathbb{R}^n,
\cos\theta = \frac{a\cdot b}{\|a\|\|b\|},
onde \theta é o ângulo entre a e b, a\cdot b é o produto escalar e \|\cdot\| é a norma (comprimento).
  • Vamos calcular o produto escalar no numerador usando linearidade e ortogonalidade. Como v,w,u são mutuamente ortogonais e unitários, temos v\cdot w = v\cdot u = w\cdot u = 0 e v\cdot v = w\cdot w = u\cdot u = 1.
  • Produto escalar:
(3v+u)\cdot(w+2u) = 3(v\cdot w) + 6(v\cdot u) + (u\cdot w) + 2(u\cdot u).
Substituindo ortogonalidade e normas:
3\cdot 0 + 6\cdot 0 + 0 + 2\cdot 1 = 2.
Portanto o numerador é 2.
  • Agora os denominadores: normas de cada vetor.
    • \|3v+u\|^2 = (3v+u)\cdot(3v+u) = 9(v\cdot v) + 6(v\cdot u) + (u\cdot u) = 9\cdot1 + 6\cdot0 + 1 = 10. Logo \|3v+u\|=\sqrt{10}.
    • \|w+2u\|^2 = (w+2u)\cdot(w+2u) = (w\cdot w) + 4(w\cdot u) + 4(u\cdot u) = 1 + 0 + 4 = 5. Logo \|w+2u\|=\sqrt{5}.
  • Portanto
\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{10}\,\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{50}} = \frac{2}{5\sqrt{2}}.
  • Cálculo numérico e conversão para graus (uma casa decimal):
    • Primeiro calcule \cos\theta \approx \dfrac{2}{5\sqrt{2}}. Como \sqrt{2}\approx 1{,}41421356, temos 5\sqrt{2}\approx 7{,}0710678. Assim
    \cos\theta \approx \frac{2}{7{,}0710678} \approx 0{,}282842712.
    • Agora \theta = \operatorname{arccos}(0{,}282842712). Em graus,
    \theta \approx 73{,}6^\circ(arredondado para uma casa decimal).
  • Conclusão: o ângulo entre 3v+u e w+2u é aproximadamente 73{,}6^\circ.

Resposta

a) Linearmente independente: um conjunto \{x_1,\dots,x_k\} é l.i. se \alpha_1 x_1+\cdots+\alpha_k x_k=0 implica \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0. Linearmente dependente: existe combinação não-trivial \alpha_1 x_1+\cdots+\alpha_k x_k=0 com algum \alpha_i\neq0.
b) v,w,u são linearmente independentes.
c) Sim, 3v+w,\;v+2u,\;2w+u são linearmente independentes (determinante -13\neq0).
d) Sim, v-u,\;2w-v,\;u-3w são linearmente independentes (determinante -1\neq0).
e) \;73{,}6^\circ

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