Questão 5.5
a) Defina conjunto de vetores linearmente independentes (l.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.). Considere três vetores v, w, u \in \mathbb{R}^{n} não nulos e dois ortogonais (i.e., v \perp w, v \perp u e w \perp u ).
b) Mostre que v, w, u são linearmente independentes.
c) Os vetores u+v, 2 w+3 v e u+2 w são linearmente independentes? Justifique.
d) Os vetores w-v, 3 u-2 v e u-4 w são linearmente independentes? Justifique.
e) Supondo que \mathrm{v}, \mathrm{w}, \mathrm{u} são unitários, calcule o ângulo entre 2 w+3 u e 4 v+w.

Passo 1

O enunciado pede várias coisas; vou listar claramente o que é dado e o que se pergunta.
  • Dados: três vetores não nulos v,w,u\in\mathbb{R}^n e eles são dois a dois ortogonais, isto é,
v\perp w,\quad v\perp u,\quad w\perp u,
o que significa \langle v,w\rangle=0,\\ \langle v,u\rangle=0,\\ \langle w,u\rangle=0.
  • Perguntas:
    a) Definir conjunto de vetores linearmente independentes (l.i.) e linearmente dependentes (l.d.).
    b) Mostrar que v,w,u são linearmente independentes.
    c) Verificar se os vetores u+v,\\\ 2w+3v,\\ u+2w são linearmente independentes.
    d) Verificar se os vetores w-v,\\\ 3u-2v,\\ u-4w são linearmente independentes.
    e) Supondo que v,w,u são unitários, calcular o ângulo entre 2w+3u e 4v+w.

Passo 2

Definição de linearmente independente e linearmente dependente (explicação didática).
  • Dizemos que um conjunto de vetores \{x_1,x_2,\dots,x_k\}\subset\mathbb{R}^n é linearmente independente (l.i.) quando a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial, ou seja:
\text{se } \alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\cdots+\alpha_k x_k=0\text{ então }\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_k=0.ã
  • Dizemos que o conjunto é linearmente dependente (l.d.) quando existe uma combinação linear não trivial que dá o vetor nulo, ou seja, existem coeficientes, nem todos zero, tais que
\beta_1 x_1+\beta_2 x_2+\cdots+\beta_k x_k=0\quad\text{com pelo menos um }\beta_i\neq 0.
Comentário intuitivo: l.i. significa que nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros; l.d. significa que há redundância entre os vetores.

Passo 3

Ferramenta que vamos usar: propriedades do produto interno (produto escalar) em \mathbb{R}^n.
  • Para a,b,c\in\mathbb{R}^n e escalares \lambda,\mu vale linearidade:
\langle \lambda a+\mu b,c\rangle=\lambda\langle a,c\rangle+\mu\langle b,c\rangle.
  • Ortogonalidade: x\perp y significa \langle x,y\rangle=0.
  • Norma e produto interno: \|x\|^2=\langle x,x\rangle e \|x\|>0 se x\neq 0.
    Essas propriedades permitem testar coeficientes de uma combinação linear ao tomar produto interno com vetores apropriados.

Passo 4

Prova de (b): mostrar que v,w,u são linearmente independentes.
  • Queremos provar que se \alpha v+\beta w+\gamma u=0 então \alpha=\beta=\gamma=0.
  • Partimos da igualdade
\alpha v+\beta w+\gamma u=0.
  • Tomamos produto interno com v. Usando linearidade e ortogonalidade:
\langle \alpha v+\beta w+\gamma u, v\rangle=\alpha\langle v,v\rangle+\beta\langle w,v\rangle+\gamma\langle u,v\rangle.
Como \langle w,v\rangle=0 e \langle u,v\rangle=0, fica
\alpha\langle v,v\rangle=0.
Mas \langle v,v\rangle=\|v\|^2>0 porque v é não nulo; portanto \alpha=0.
  • Analogamente, tomando produto interno com w obtemos \beta\langle w,w\rangle=0, logo \beta=0.
  • Tomando produto interno com u obtemos \gamma\langle u,u\rangle=0, logo \gamma=0.
  • Conclusão: os únicos coeficientes possíveis são todos zero, logo \{v,w,u\} é linearmente independente.

Passo 5

Resolvendo (c): verificar se u+v,\\\ 2w+3v,\\ u+2w são linearmente independentes.
  • Método: considerar uma combinação linear arbitrária e usar a independência de \{v,w,u\} (provada em (b)).
  • Seja \alpha,\beta,\gamma escalares tais que
\alpha(u+v)+\beta(2w+3v)+\gamma(u+2w)=0.
  • Expandindo e juntando coeficientes dos vetores u,v,w:
(\alpha+\gamma)u+(\alpha+3\beta)v+(2\beta+2\gamma)w=0.

Passo 6

Resolver o sistema de coeficientes (continuação de (c)).
  • Porque u,v,w\) são l.i., os coeficientes de \(u,v,w\) devem ser zero. Assim obtemos o sistema \[\begin{cases} \alpha+\gamma=0,\\[4pt] \alpha+3\beta=0,\\[4pt] 2\beta+2\gamma=0. \end{cases}
  • Simplificando a terceira equação por 2\]: \[\beta+\gamma=0.\] - Da terceira \(\beta+\gamma=0 obtemos \gamma=-\beta.
    - Substituindo em \alpha+\gamma=0 \alpha=-\gamma=\beta.
    - Substituindo em \alpha+3\beta=0 \beta+3\beta=4\beta=0, logo \beta=0.
    - Assim \alpha=\beta=\gamma=0.
    - Conclusão: a única solução é trivial, logo os vetores u+v,\\\ 2w+3v,\\ u+2w são linearmente independentes.]

Passo 7

Resolvendo (d): verificar se w-v,\\\ 3u-2v,\\ u-4w são linearmente independentes.
  • Pegamos escalares p,q,r tais que
p(w-v)+q(3u-2v)+r(u-4w)=0.
  • Expandindo e reunindo coeficientes de u,v,w:
(3q+r)u+(-p-2q)v+(p-4r)w=0.

Passo 8

Resolver o sistema de coeficientes (continuação de (d)).
  • Como u,v,w\) são l.i., os coeficientes devem ser zero: \[\begin{cases} 3q+r=0,\\[4pt] -p-2q=0,\\[4pt] p-4r=0. \end{cases}
  • Da primeira: r=-3q\]. - Da segunda: \(p=-2q.
    - Substituindo p=-2q e r=-3q na terceira:
-2q-4(-3q)=-2q+12q=10q=0,
logo q=0.
  • Assim p=r=0.
  • Conclusão: apenas a solução trivial existe, logo w-v,\\\ 3u-2v,\\ u-4w são linearmente independentes.]

Passo 9

Resolvendo (e): ângulo entre 2w+3u e 4v+w quando v,w,u são unitários e ortogonais.
  • Denotemos A=2w+3u e B=4v+w.
  • Fórmula do cosseno do ângulo \theta entre dois vetores:
\cos\theta=\frac{\langle A,B\rangle}{\|A\|\|B\|}.
  • Calcular \langle A,B\rangle. Usando linearidade e ortogonalidade (todas as produtos cruzados entre u,v,w são zero):
\langle 2w+3u,\\\ 4v+w\rangle =2\cdot 4\langle w,v\rangle+2\langle w,w\rangle+3\cdot 4\langle u,v\rangle+3\langle u,w\rangle.
  • Como \langle w,v\rangle=\langle u,v\rangle=\langle u,w\rangle=0 e \langle w,w\rangle=\|w\|^2=1 (vetores unitários), resta
\langle A,B\rangle=2\cdot 1=2.
  • Calcular \|A\|. Como u\perp w,
\|A\|^2=\|2w+3u\|^2=4\|w\|^2+9\|u\|^2+2\cdot 2\cdot 3\langle w,u\rangle=4+9+0=13,
logo \|A\|=\sqrt{13}.
  • Calcular \|B\|. Como v\perp w,
\|B\|^2=\|4v+w\|^2=16\|v\|^2+\|w\|^2+2\cdot 4\cdot 1\langle v,w\rangle=16+1+0=17,
logo \|B\|=\sqrt{17}.
  • Portanto
\cos\theta=\frac{2}{\sqrt{13}\,\sqrt{17}}=\frac{2}{\sqrt{221}}.
  • Conclusão: o ângulo \theta satisfaz \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{2}{\sqrt{221}}\bigr).

Resposta

(a) Um conjunto \{x_1,\dots,x_k\} é linearmente independente se \alpha_1 x_1+\cdots+\alpha_k x_k=0 implica \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0. É linearmente dependente se existe uma combinação não trivial igual a 0 (algum coeficiente diferente de zero).
(b) v,w,u são linearmente independentes.
(c) Os vetores u+v,\\\ 2w+3v,\\ u+2w são linearmente independentes.
(d) Os vetores w-v,\\\ 3u-2v,\\ u-4w são linearmente independentes.
(e) \displaystyle \theta=\operatorname{arccos}\!\Bigl(\frac{2}{\sqrt{221}}\Bigr).

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