Questão 5.5
a) Defina conjunto de vetores linearmente independentes (l.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.). Considere três vetores
não nulos e dois ortogonais (i.e.,
).
b) Mostre que v, w, u são linearmente independentes.
c) Os vetores
são linearmente independentes? Justifique.
d) Os vetores
e
são linearmente independentes? Justifique.
e) Supondo que
são unitários, calcule o ângulo entre
.
a) Defina conjunto de vetores linearmente independentes (l.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.). Considere três vetores
b) Mostre que v, w, u são linearmente independentes.
c) Os vetores
d) Os vetores
e) Supondo que
Passo 1
O enunciado pede várias coisas; vou listar claramente o que é dado e o que se pergunta.
- Dados: três vetores não nulos
e eles são dois a dois ortogonais, isto é,
o que significa
.
- Perguntas:
a) Definir conjunto de vetores linearmente independentes (l.i.) e linearmente dependentes (l.d.).
b) Mostrar quesão linearmente independentes.
c) Verificar se os vetoressão linearmente independentes.
d) Verificar se os vetoressão linearmente independentes.
e) Supondo quesão unitários, calcular o ângulo entre e .
Passo 2
Definição de linearmente independente e linearmente dependente (explicação didática).
- Dizemos que um conjunto de vetores
é linearmente independente (l.i.) quando a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação trivial, ou seja:
- Dizemos que o conjunto é linearmente dependente (l.d.) quando existe uma combinação linear não trivial que dá o vetor nulo, ou seja, existem coeficientes, nem todos zero, tais que
Comentário intuitivo: l.i. significa que nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros; l.d. significa que há redundância entre os vetores.
Passo 3
Ferramenta que vamos usar: propriedades do produto interno (produto escalar) em
.
- Para
e escalares vale linearidade:
- Ortogonalidade:
significa . - Norma e produto interno:
e se .
Essas propriedades permitem testar coeficientes de uma combinação linear ao tomar produto interno com vetores apropriados.
Passo 4
Prova de (b): mostrar que
são linearmente independentes.
- Queremos provar que se
então . - Partimos da igualdade
- Tomamos produto interno com
. Usando linearidade e ortogonalidade:
Como
e
, fica
Mas
porque
é não nulo; portanto
.
- Analogamente, tomando produto interno com
obtemos , logo . - Tomando produto interno com
obtemos , logo . - Conclusão: os únicos coeficientes possíveis são todos zero, logo
é linearmente independente.
Passo 5
Resolvendo (c): verificar se
são linearmente independentes.
- Método: considerar uma combinação linear arbitrária e usar a independência de
(provada em (b)). - Seja
escalares tais que
- Expandindo e juntando coeficientes dos vetores
:
Passo 6
Resolver o sistema de coeficientes (continuação de (c)).
- Porque
- Simplificando a terceira equação por
obtemos
.
- Substituindo emdá .
- Substituindo emdá , logo .
- Assim.
- Conclusão: a única solução é trivial, logo os vetoressão linearmente independentes.]
Passo 7
Resolvendo (d): verificar se
são linearmente independentes.
- Pegamos escalares
tais que
- Expandindo e reunindo coeficientes de
:
Passo 8
Resolver o sistema de coeficientes (continuação de (d)).
- Como
- Da primeira:
.
- Substituindoe na terceira:
logo
.
- Assim
. - Conclusão: apenas a solução trivial existe, logo
são linearmente independentes.]
Passo 9
Resolvendo (e): ângulo entre
e
quando
são unitários e ortogonais.
- Denotemos
e . - Fórmula do cosseno do ângulo
entre dois vetores:
- Calcular
. Usando linearidade e ortogonalidade (todas as produtos cruzados entre são zero):
- Como
e (vetores unitários), resta
- Calcular
. Como ,
logo
.
- Calcular
. Como ,
logo
.
- Portanto
- Conclusão: o ângulo
satisfaz .
Resposta
(a) Um conjunto
é linearmente independente se
implica
. É linearmente dependente se existe uma combinação não trivial igual a
(algum coeficiente diferente de zero).
(b) são linearmente independentes.
(c) Os vetores são linearmente independentes.
(d) Os vetores são linearmente independentes.
(e) .
(b)
(c) Os vetores
(d) Os vetores
(e)