Questão 5.8
a) Defina conjunto de vetores linearmente independentes (l.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.). Considere três vetores v, w, u \in \mathbb{R}^{n} não nulos e dois ortogonais (i.e., v \perp w, v \perp u e w \perp u ).
b) Mostre que v, w, u são linearmente independentes.
c) Os vetores 2 u+3 v, 4 w+v e 5 u+w são linearmente independentes? Justifique.
d) Os vetores 3 v-u, 2 w-v e u-5 w são linearmente independentes? Justifique.
e) Supondo que v, w, u são unitários, calcule o ângulo entre 2 v+3 w e u+4 v.

Passo 1

O enunciado dá três vetores v,w,u\in\mathbb{R}^n não nulos e mutuamente ortogonais, isto é:
v\perp w,\qquad v\perp u,\qquad w\perp u.
As perguntas são:
(a) definir conjunto de vetores linearmente independentes (l.i.) e linearmente dependentes (l.d.);
(b) mostrar que v,w,u são linearmente independentes;
(c) verificar se 2u+3v,\;4w+v,\;5u+w são linearmente independentes e justificar;
(d) verificar se 3v-u,\;2w-v,\;u-5w são linearmente independentes e justificar;
(e) supondo que v,w,u são unitários, calcular o ângulo entre 2v+3w e u+4v.

Passo 2

(a) Definições (explicadas passo a passo).
Definição de linearmente independentes: dizer que um conjunto de vetores \{x_1,\dots,x_k\} é linearmente independente significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial, isto é,
\text{se } \alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\cdots+\alpha_k x_k=0 \text{ então } \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_k=0.ã
Explicação: \alpha_i são escalares reais; a condição força todos os coeficientes a serem zero. Na prova/avaliação, sempre que você quiser provar independência, assuma uma combinação linear igual a zero e mostre que todos os coeficientes têm de ser zero.
Definição de linearmente dependentes: um conjunto \{x_1,\dots,x_k\} é linearmente dependente se existe uma combinação linear não trivial que dá zero, isto é, existem escalares, nem todos zero, tais que
\beta_1 x_1+\beta_2 x_2+\cdots+\beta_k x_k=0
com pelo menos um \beta_i\neq 0.
Explicação: em palavras, um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Passo 3

(b) Mostrar que v,w,u são linearmente independentes, com justificativa didática.
Estratégia: usar produto interno (dot product) e ortogonalidade para forçar coeficientes a zero.
Lembrete sobre produto interno: para a,b\in\mathbb{R}^n o produto interno é a\cdot b. Tem propriedades úteis:
  • linearidade: (\alpha a+\beta b)\cdot c = \alpha(a\cdot c)+\beta(b\cdot c);
  • simetria: a\cdot b = b\cdot a;
  • norma: \|a\|^2 = a\cdot a e \|a\|>0 se a\neq 0;
  • ortogonalidade: a\perp b \iff a\cdot b=0.
Prova detalhada: suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha v+\beta w+\gamma u=0.
Aplicamos o produto interno com v em ambos os lados. Usando linearidade:
(\alpha v+\beta w+\gamma u)\cdot v = 0\cdot v = 0.
Desenvolvendo pelo produto interno:
\alpha (v\cdot v) + \beta (w\cdot v) + \gamma (u\cdot v) = 0.
Como v\perp w e v\perp u, temos w\cdot v=0 e u\cdot v=0. Logo sobra
\alpha (v\cdot v)=0.
Mas v\neq 0 então v\cdot v=\|v\|^2>0. Assim \alpha=0.
Repetindo o processo tomando produto interno com w obtemos \beta=0. Tomando com u obtemos \gamma=0. Portanto a única combinação que dá zero é trivial, logo v,w,u são linearmente independentes.
Comentário prático para prova: sempre que tiver vetores não nulos e mutuamente ortogonais, faça exatamente esse passo de “assumir combinação igual a zero” e tomar produto interno com cada vetor para anular termos cruzados.

Passo 4

(c) Verificar a independência de 2u+3v,\;4w+v,\;5u+w.
Ideia: como v,w,u são linearmente independentes, qualquer relação linear entre os vetores dados pode ser traduzida em uma relação entre suas coordenadas na base \{v,w,u\}. Assim basta verificar se os vetores de coordenadas são linearmente independentes em \mathbb{R}^3.
Escrever cada vetor nas coordenadas (\text{coef. de }v,\text{coef. de }w,\text{coef. de }u):
2u+3v \longleftrightarrow \begin{pmatrix}3\\[2pt]0\\[2pt]2\end{pmatrix},\qquad 4w+v \longleftrightarrow \begin{pmatrix}1\\[2pt]4\\[2pt]0\end{pmatrix},\qquad 5u+w \longleftrightarrow \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]5\end{pmatrix}.
Formamos a matriz cujas colunas são esses vetores de coordenadas:
M = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 4 & 1\\[4pt] 2 & 0 & 5 \end{pmatrix}.
Se \det(M)\neq 0 então as colunas são linearmente independentes em \mathbb{R}^3, e portanto os vetores originais são linearmente independentes.
Calcular o determinante passo a passo (expansão pela primeira linha):
\det(M) = 3\cdot\det\!\begin{pmatrix}4 & 1\\[2pt]0 & 5\end{pmatrix} -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]2 & 5\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Calcule os menores:
\det\!\begin{pmatrix}4 & 1\\[2pt]0 & 5\end{pmatrix} = 4\cdot 5 - 1\cdot 0 = 20,
\det\!\begin{pmatrix}0 & 1\\[2pt]2 & 5\end{pmatrix} = 0\cdot 5 - 1\cdot 2 = -2.
Substituindo:
\det(M) = 3\cdot 20 - 1\cdot(-2) = 60 + 2 = 62.
Como 62\neq 0, as colunas são linearmente independentes. Conclusão: os vetores 2u+3v,\;4w+v,\;5u+w são linearmente independentes.
Dica para prova: representar em coordenadas na base dos vetores ortogonais facilita muito — aí sobra só checar determinantinho.]

Passo 5

(d) Verificar a independência de 3v-u,\;2w-v,\;u-5w.
Mesma estratégia: escrever coordenadas na base \{v,w,u\}.
Coordenadas:
3v-u \longleftrightarrow \begin{pmatrix}3\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{pmatrix},\qquad 2w-v \longleftrightarrow \begin{pmatrix}-1\\[2pt]2\\[2pt]0\end{pmatrix},\qquad u-5w \longleftrightarrow \begin{pmatrix}0\\[2pt]-5\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Matriz cujas colunas são essas coordenadas:
A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & -5\\[4pt] -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Calcular \det(A). Expansão pela primeira linha:
\det(A)=3\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & -5\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\!\begin{pmatrix}0 & -5\\[2pt]-1 & 1\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots).
Calcule os menores:
\det\!\begin{pmatrix}2 & -5\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix}=2\cdot 1 - (-5)\cdot 0 = 2,
\det\!\begin{pmatrix}0 & -5\\[2pt]-1 & 1\end{pmatrix} = 0\cdot 1 - (-5)\cdot(-1) = 0 - 5 = -5.
Substituindo:
\det(A)=3\cdot 2 -(-1)\cdot(-5) = 6 - 5 = 1.
Como \det(A)=1\neq 0, as colunas são linearmente independentes. Conclusão: os vetores 3v-u,\;2w-v,\;u-5w são linearmente independentes.
Observação prática: quando o determinante sai pequeno (aqui 1), é ainda melhor — independente também.]

Passo 6

(e) Calcular o ângulo entre 2v+3w e u+4v, supondo que v,w,u são unitários e mutuamente ortogonais.
Lembrete: o cosseno do ângulo \theta entre dois vetores a e b é dado por
\cos\theta = \frac{a\cdot b}{\|a\|\,\|b\|}.
Calcule o produto interno. Usando linearidade:
(2v+3w)\cdot(u+4v) = 2(v\cdot u) + 8(v\cdot v) + 3(w\cdot u) + 12(w\cdot v).
Como os vetores são mutuamente ortogonais, v\cdot u=0, w\cdot u=0, w\cdot v=0. E como são unitários, v\cdot v = \|v\|^2 = 1. Logo
(2v+3w)\cdot(u+4v) = 8.
Agora as normas:
\|2v+3w\|^2 = (2v+3w)\cdot(2v+3w) = 4(v\cdot v) + 12(v\cdot w) + 9(w\cdot w).
Com ortogonalidade v\cdot w=0 e unitariedade v\cdot v=w\cdot w=1. Então
\|2v+3w\|^2 = 4+9 = 13,\qquad \|2v+3w\|=\sqrt{13}.
Para o outro:
\|u+4v\|^2 = (u+4v)\cdot(u+4v) = 1 + 8(v\cdot u) + 16 = 17,
pois v\cdot u=0. Assim \|u+4v\|=\sqrt{17}.
Portanto
\cos\theta = \frac{8}{\sqrt{13}\,\sqrt{17}} = \frac{8}{\sqrt{221}}.
E o ângulo é
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigg(\frac{8}{\sqrt{221}}\bigg).

Resposta

(a) Um conjunto \{x_1,\dots,x_k\} é linearmente independente se \alpha_1 x_1+\cdots+\alpha_k x_k=0 implica \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0. É linearmente dependente se existe uma combinação não trivial (algum coeficiente \neq 0) que dá zero.\n
(b) v,w,u são linearmente independentes.\n
(c) Sim, 2u+3v,\;4w+v,\;5u+w são linearmente independentes (determinante =62\neq 0).\n
(d) Sim, 3v-u,\;2w-v,\;u-5w são linearmente independentes (determinante =1\neq 0).\n
(e) \theta=\operatorname{arccos}\!\big(\dfrac{8}{\sqrt{221}}\big).

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