Questão 5.8
a) Defina conjunto de vetores linearmente independentes (l.i.) e conjunto de vetores linearmente dependentes (l.d.). Considere três vetores v, w, u \in \mathbb{R}^{n} não nulos e dois ortogonais (i.e., v \perp w, v \perp u e w \perp u ).
b) Mostre que v, w, u são linearmente independentes.
c) Os vetores 2 u+3 v, 4 w+v e 5 u+w são linearmente independentes? Justifique.
d) Os vetores 3 v-u, 2 w-v e u-5 w são linearmente independentes? Justifique.
e) Supondo que v, w, u são unitários, calcule o ângulo entre 2 v+3 w e u+4 v.
Passo 1
O enunciado dá três vetores v,w,u\in\mathbb{R}^n não nulos e mutuamente ortogonais, isto é:
v\perp w,\qquad v\perp u,\qquad w\perp u.
As perguntas são:
(a) definir conjunto de vetores linearmente independentes (l.i.) e linearmente dependentes (l.d.);
(b) mostrar que v,w,u são linearmente independentes;
(c) verificar se 2u+3v,\;4w+v,\;5u+w são linearmente independentes e justificar;
(d) verificar se 3v-u,\;2w-v,\;u-5w são linearmente independentes e justificar;
(e) supondo que v,w,u são unitários, calcular o ângulo entre 2v+3w e u+4v.
Passo 2
(a) Definições (explicadas passo a passo).
Definição de linearmente independentes: dizer que um conjunto de vetores \{x_1,\dots,x_k\} é linearmente independente significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial, isto é,
\text{se } \alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\cdots+\alpha_k x_k=0 \text{ então } \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_k=0.
Explicação: \alpha_i são escalares reais; a condição força todos os coeficientes a serem zero. Na prova/avaliação, sempre que você quiser provar independência, assuma uma combinação linear igual a zero e mostre que todos os coeficientes têm de ser zero.
Definição de linearmente dependentes: um conjunto \{x_1,\dots,x_k\} é linearmente dependente se existe uma combinação linear não trivial que dá zero, isto é, existem escalares, nem todos zero, tais que
\beta_1 x_1+\beta_2 x_2+\cdots+\beta_k x_k=0
com pelo menos um \beta_i\neq 0.
Explicação: em palavras, um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Passo 3
(b) Mostrar que v,w,u são linearmente independentes, com justificativa didática.
Estratégia: usar produto interno (dot product) e ortogonalidade para forçar coeficientes a zero.
Lembrete sobre produto interno: para a,b\in\mathbb{R}^n o produto interno é a\cdot b. Tem propriedades úteis:
linearidade: (\alpha a+\beta b)\cdot c = \alpha(a\cdot c)+\beta(b\cdot c);
simetria: a\cdot b = b\cdot a;
norma: \|a\|^2 = a\cdot a e \|a\|>0 se a\neq 0;
ortogonalidade: a\perp b \iff a\cdot b=0.
Prova detalhada: suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha v+\beta w+\gamma u=0.
Aplicamos o produto interno com v em ambos os lados. Usando linearidade:
(\alpha v+\beta w+\gamma u)\cdot v = 0\cdot v = 0.
Como v\perp w e v\perp u, temos w\cdot v=0 e u\cdot v=0. Logo sobra
\alpha (v\cdot v)=0.
Mas v\neq 0 então v\cdot v=\|v\|^2>0. Assim \alpha=0.
Repetindo o processo tomando produto interno com w obtemos \beta=0. Tomando com u obtemos \gamma=0. Portanto a única combinação que dá zero é trivial, logo v,w,u são linearmente independentes.
Comentário prático para prova: sempre que tiver vetores não nulos e mutuamente ortogonais, faça exatamente esse passo de “assumir combinação igual a zero” e tomar produto interno com cada vetor para anular termos cruzados.
Passo 4
(c) Verificar a independência de 2u+3v,\;4w+v,\;5u+w.
Ideia: como v,w,u são linearmente independentes, qualquer relação linear entre os vetores dados pode ser traduzida em uma relação entre suas coordenadas na base \{v,w,u\}. Assim basta verificar se os vetores de coordenadas são linearmente independentes em \mathbb{R}^3.
Escrever cada vetor nas coordenadas (\text{coef. de }v,\text{coef. de }w,\text{coef. de }u):
(a) Um conjunto \{x_1,\dots,x_k\} é linearmente independente se \alpha_1 x_1+\cdots+\alpha_k x_k=0 implica \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0. É linearmente dependente se existe uma combinação não trivial (algum coeficiente \neq 0) que dá zero.\n
(b) v,w,u são linearmente independentes.\n
(c) Sim, 2u+3v,\;4w+v,\;5u+w são linearmente independentes (determinante =62\neq 0).\n
(d) Sim, 3v-u,\;2w-v,\;u-5w são linearmente independentes (determinante =1\neq 0).\n
(e) \theta=\operatorname{arccos}\!\big(\dfrac{8}{\sqrt{221}}\big).