Usando transformada de Laplace, obtenha a solução do problema de valor inicial abaixo.
y^{(4)}-y=0, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1, \quad y^{\prime \prime}(0)=0, \quad y^{\prime \prime \prime}(0)=0 .

Passo 1

Temos o problema de valor inicial
y^{(4)} - y = 0,
com condições
y(0)=0,\quad y'(0)=1,\quad y''(0)=0,\quad y'''(0)=0.
O conteúdo é transformar a EDO pela transformada de Laplace, usar as condições iniciais para obter Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e depois fazer a transformada inversa para achar y(t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os termos de
y^{(4)} - y = 0.
Sabendo que
\mathcal{L}\{y^{(4)}\} = s^4Y(s)-s^3y(0)-s^2y'(0)-s\,y''(0)-y'''(0),
e
\mathcal{L}\{y\}=Y(s),
ficamos com
s^4Y(s)-s^3y(0)-s^2y'(0)-s\,y''(0)-y'''(0)\;-\;Y(s)\;=\;0.

Passo 3

Substituindo as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=1, y''(0)=0, y'''(0)=0, obtemos
s^4Y(s)-s^2 - Y(s)=0 \quad\Longrightarrow\quad Y(s)\,\bigl(s^4-1\bigr)=s^2 \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{s^2}{s^4-1}.

Passo 4

Fatoramos o denominador e separamos em frações parciais:
s^4-1=(s^2-1)(s^2+1),
buscamos A e B tais que
\frac{s^2}{(s^2-1)(s^2+1)} =\frac{A}{s^2-1}+\frac{B}{s^2+1}.
Temos
s^2 = A(s^2+1)+B(s^2-1) =(A+B)s^2 + (A-B),
daí A+B=1 e A-B=0, logo A=B=\tfrac12. Assim
Y(s)=\frac12\,\frac1{s^2-1}+\frac12\,\frac1{s^2+1}.

Passo 5

Usamos as transformadas inversas conhecidas:
\mathcal{L}^{-1}\!\biggl\{\frac1{s^2-1}\biggr\}=\operatorname{sinh}(t), \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\biggl\{\frac1{s^2+1}\biggr\}=\sin(t).
Logo
y(t) =\frac12\,\operatorname{sinh}(t)+\frac12\,\sin(t).

Resposta

y(t)=\frac12\,\operatorname{sinh}(t)+\frac12\,\sin(t).

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