Questão 3. Defina linha de corrente, trajetória, linha de emissão e linha de tempo. Quando usamos um bastão de fumaça em um túnel de vento para analisar o padrão de escoamento em torno de um carro, a qual desse elementos corresponde a linha de fumaça visualizada?

Passo 1

O enunciado pede para definirmos quatro conceitos clássicos de cinemática de fluidos — linha de corrente, trajetória, linha de emissão e linha de tempo — e, em seguida, identificar a qual deles corresponde a fumaça contínua gerada por um bastão num túnel de vento. O conteúdo é de mecânica dos fluidos (cinemática), onde vamos usar as definições formais baseadas na velocidade \mathbf{v}(\mathbf{r},t).

Passo 2

A linha de corrente num dado instante t_0 é a curva \mathbf{r}(s) cujo vetor tangente em cada ponto é paralelo à velocidade nesse ponto e instante. Formalmente, para parâmetro s:
\frac{d\mathbf{r}}{ds} = \mathbf{v}\bigl(\mathbf{r}(s),\,t_0\bigr).
Isso significa que, no instante t_0, a linha de corrente mostra as direções seguidas pelas partículas se o campo de velocidade permanecesse estático.

Passo 3

A trajetória (pathline) de uma partícula é o caminho descrito por ela ao longo do tempo. Se uma partícula parte de \mathbf{r}(t_0)=\mathbf{r}_0, sua posição \mathbf{r}(t) satisfaz o problema de valor inicial:
\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \mathbf{v}\bigl(\mathbf{r}(t),\,t\bigr), \quad \mathbf{r}(t_0)=\mathbf{r}_0.
A solução \mathbf{r}(t) é exatamente a curva que o único elemento de fluido percorre no espaço-tempo.

Passo 4

A linha de emissão (streakline) num instante t é o conjunto de todas as partículas que, em tempos anteriores \tau\le t, passaram por um ponto fixo \mathbf{r}_e. Em outras palavras, se você injeta continuamente um marcador num ponto \mathbf{r}_e, a linha de emissão é a forma que esse marcador adquire no instante t.

Passo 5

A linha de tempo consiste em marcar simultaneamente, num instante t_0, um grupo de partículas que formam uma curva qualquer, e então acompanhar a posição dessas mesmas partículas em instantes posteriores. Ela mostra como uma “linha” de fluido evolui no decorrer do tempo.

Passo 6

No túnel de vento, o bastão de fumaça injeta continuamente um traçador em um ponto fixo junto à carroceria. A fumaça vista é justamente o aglomerado de partículas que passaram por ali em instantes diferentes, formando uma curva no espaço naquele instante. Isso coincide exatamente com a linha de emissão.

Resposta

A linha de fumaça visualizada corresponde à linha de emissão.

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