Questão 2. Diferencie as descrições Lagrangeana e Euleriana. Considere dois engenheiros aeronáuticos, um especialista em aerodinâmica estudando o escoamento em torno de uma asa no túnel de vento e o outro especialista na dispersão dos poluentes emitidos pelo motor de aviões. Para qual deles o uso da descrição Lagrangeana será mais comum e qual usará mais a descrição Euleriana?

Passo 1

O enunciado pede para diferenciar as descrições Lagrangeana e Euleriana em mecânica dos fluidos e, a partir disso, indicar qual delas é mais usada por um engenheiro de aerodinâmica que estuda o escoamento em torno de uma asa e por um engenheiro que modela a dispersão de poluentes emitidos pelo motor de aviões. Vamos usar a definição matemática de cada descrição e depois aplicar ao caso de cada especialista.

Passo 2

Na descrição Lagrangeana acompanhamos cada partícula ou “pacote” de fluido individualmente. Se denotarmos pela posição inicial de uma partícula \mathbf{X}_0 no instante t=0, a sua posição em tempo t é
\mathbf{X} = \mathbf{X}(\mathbf{X}_0, t).
A velocidade dessa partícula é então
\mathbf{v}_L = \frac{\partial \mathbf{X}}{\partial t}(\mathbf{X}_0, t).
Nesse quadro, todas as propriedades (velocidade, pressão, temperatura etc.) são seguidas ao longo da trajetória de cada partícula.

Passo 3

Na descrição Euleriana focamos em pontos fixos no espaço. Em cada ponto de coordenadas \mathbf{x} e em cada instante t definimos a velocidade do fluido como um campo
\mathbf{v}_E = \mathbf{v}(\mathbf{x}, t),
e de modo análogo para pressão p(\mathbf{x},t), densidade \rho(\mathbf{x},t) e outras grandezas. Aqui não “seguimos” partículas: olhamos o que acontece em cada região fixa do domínio.

Passo 4

Um engenheiro de aerodinâmica que estuda o escoamento ao redor de uma asa geralmente se preocupa com as distribuições de pressão e velocidade ao longo da superfície e no campo ao redor. Ele monta malhas fixas (no túnel de vento ou em simulações CFD) e resolve as equações de Navier–Stokes nesses pontos espaciais. Isso é a cara da descrição Euleriana, pois lida com campos \mathbf{v}(\mathbf{x},t) e p(\mathbf{x},t) em malha espacial.

Passo 5

Já o engenheiro que estuda a dispersão dos poluentes tende a usar modelos de partículas para rastrear cada gotícula ou cada “pacote” de poluente no ar, calculando trajetórias individuais e seus tempos de residência. Esse tipo de análise, conhecido como modelo de dispersão Lagrangeano, segue as trajetórias \mathbf{X}(\mathbf{X}_0,t) de cada partícula de poluente, tornando a descrição Lagrangeana mais natural.

Resposta

O engenheiro de aerodinâmica que estuda o escoamento em torno da asa usará mais a descrição Euleriana.
O engenheiro que modela a dispersão dos poluentes usará mais a descrição Lagrangeana.

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