Questão 2.1
a) Defina subespaço vetorial.
Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
a) Defina subespaço vetorial.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) dar uma definição de “subespaço vetorial” e (b) decidir se o subconjunto
é um subespaço de
. As informações relevantes que recebemos são as duas equações lineares que definem
:
e
. Não há outras restrições.
Passo 2
Definição passo a passo de “subespaço vetorial” (respondo o item (a)). Seja um espaço vetorial ambientem por exemplo
. Um conjunto
é um subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz as seguintes condições:
-
não é vazio (usualmente verificado mostrando que o vetor zero pertence a ). - Fechamento sob adição: para quaisquer vetores
tem-se . - Fechamento sob multiplicação por escalar: para qualquer escalar
e qualquer tem-se .
Explicando cada item com calma:
- O vetor zero é o vetor
. Se o conjunto não contém o zero, não pode ser subespaço, porque um subespaço sempre tem o zero. - “Fechamento sob adição” significa que somando dois elementos do conjunto, o resultado permanece no conjunto.
- “Fechamento sob multiplicação por escalar” significa que multiplicando um elemento por qualquer número real, o resultado permanece no conjunto.
Essas três propriedades são suficientes para garantir que qualquer combinação linear de elementos do conjunto também pertence ao conjunto.
Passo 3
Estratégia para decidir se
é subespaço: vou verificar as três propriedades da definição acima aplicadas a
. Alternativamente, posso tentar expressar
como o espaço solução de um sistema homogêneo (o que garante subespaço) ou como o span (geração linear) de alguns vetores. Vou fazer as verificações diretas e depois mostrar a parametrização para reforçar a intuição.
Passo 4
Reescrevendo a descrição de
para manipular com clareza: as duas equações
são equivalentes a
Portanto um vetor
tem necessariamente a forma
Aqui as variáveis livres são
e
;
e
ficam determinados por elas.
Passo 5
Verificação 1 — o vetor zero pertence a
: pegue o vetor zero
. Substituindo nas equações:
portanto
. Isso mostra que
não é vazio e contém o vetor zero, satisfazendo a primeira condição da definição.
Passo 6
Verificação 2 — fechamento sob adição: vamos tomar dois vetores arbitrários em
,
Pelo fato de estarem em
temos
Considere a soma
. Verificamos as equações definidoras para
:
e
Como ambas igualdades são satisfeitas, segue que
. Logo
é fechado sob adição.
Passo 7
Verificação 3 — fechamento sob multiplicação por escalar: seja
e
, então
e
. Considere
. Verificamos:
e
Portanto
. Logo
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 8
Conclusão a partir das verificações: mostramos que
contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar. Pelos critérios da definição de subespaço,
é um subespaço vetorial de
.
Passo 9
Interpretação alternativa e parametrização (útil para provas e intuição): como vimos em
Passo 10
Isto mostra que
isto é,
é o subespaço gerado por esses dois vetores (toda combinação linear deles). Como um span é sempre um subespaço, isso dá outra prova elegante de que
é subespaço. Além disso, isso mostra que
.
Resposta
Definição: Seja
.
é subespaço vetorial se
e para quaisquer
e qualquer
vale
e
.\n
Resultado para :
é subespaço vetorial de
; alternativamente
e
.
Resultado para