Questão 2.1
a) Defina subespaço vetorial.
Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
S=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+y=0 e z-t=0\right\} \subset \mathbb{R}^{4}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) dar uma definição de “subespaço vetorial” e (b) decidir se o subconjunto
S=\left\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid x+y=0 \text{ e } z-t=0\right\}
é um subespaço de \mathbb{R}^4. As informações relevantes que recebemos são as duas equações lineares que definem S: \;x+y=0\; e \;z-t=0\;. Não há outras restrições.

Passo 2

Definição passo a passo de “subespaço vetorial” (respondo o item (a)). Seja um espaço vetorial ambientem por exemplo \mathbb{R}^n. Um conjunto W\subset\mathbb{R}^n é um subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz as seguintes condições:
  1. W não é vazio (usualmente verificado mostrando que o vetor zero pertence a W).
  2. Fechamento sob adição: para quaisquer vetores u,v\in W tem-se u+v\in W.
  3. Fechamento sob multiplicação por escalar: para qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R} e qualquer u\in W tem-se \alpha u\in W.
Explicando cada item com calma:
  • O vetor zero é o vetor (0,0,\dots,0). Se o conjunto não contém o zero, não pode ser subespaço, porque um subespaço sempre tem o zero.
  • “Fechamento sob adição” significa que somando dois elementos do conjunto, o resultado permanece no conjunto.
  • “Fechamento sob multiplicação por escalar” significa que multiplicando um elemento por qualquer número real, o resultado permanece no conjunto.
    Essas três propriedades são suficientes para garantir que qualquer combinação linear de elementos do conjunto também pertence ao conjunto.

Passo 3

Estratégia para decidir se S é subespaço: vou verificar as três propriedades da definição acima aplicadas a S. Alternativamente, posso tentar expressar S como o espaço solução de um sistema homogêneo (o que garante subespaço) ou como o span (geração linear) de alguns vetores. Vou fazer as verificações diretas e depois mostrar a parametrização para reforçar a intuição.

Passo 4

Reescrevendo a descrição de S para manipular com clareza: as duas equações
x+y=0\quad\text{e}\quad z-t=0
são equivalentes a
y=-x\quad\text{e}\quad t=z.
Portanto um vetor (x,y,z,t)\in S tem necessariamente a forma
(x,-x,z,z).
Aqui as variáveis livres são x e z; y e t ficam determinados por elas.

Passo 5

Verificação 1 — o vetor zero pertence a S: pegue o vetor zero (0,0,0,0). Substituindo nas equações:
0+0=0\quad\text{e}\quad 0-0=0,
portanto (0,0,0,0)\in S. Isso mostra que S não é vazio e contém o vetor zero, satisfazendo a primeira condição da definição.

Passo 6

Verificação 2 — fechamento sob adição: vamos tomar dois vetores arbitrários em S,
u=(x_1,y_1,z_1,t_1)\in S,\qquad v=(x_2,y_2,z_2,t_2)\in S.
Pelo fato de estarem em S temos
x_1+y_1=0,\quad z_1-t_1=0,\qquad x_2+y_2=0,\quad z_2-t_2=0.
Considere a soma u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2,\;t_1+t_2). Verificamos as equações definidoras para u+v:
(x_1+x_2)+(y_1+y_2)=(x_1+y_1)+(x_2+y_2)=0+0=0,
e
(z_1+z_2)-(t_1+t_2)=(z_1-t_1)+(z_2-t_2)=0+0=0.
Como ambas igualdades são satisfeitas, segue que u+v\in S. Logo S é fechado sob adição.

Passo 7

Verificação 3 — fechamento sob multiplicação por escalar: seja \alpha\in\mathbb{R} e u=(x,y,z,t)\in S, então x+y=0 e z-t=0. Considere \alpha u=(\alpha x,\alpha y,\alpha z,\alpha t). Verificamos:
\alpha x + \alpha y = \alpha(x+y)=\alpha\cdot 0=0,
e
\alpha z - \alpha t = \alpha(z-t)=\alpha\cdot 0=0.
Portanto \alpha u\in S. Logo S é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 8

Conclusão a partir das verificações: mostramos que S contém o vetor zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar. Pelos critérios da definição de subespaço, S é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^4.

Passo 9

Interpretação alternativa e parametrização (útil para provas e intuição): como vimos em

Passo 10

(x,-x,z,z)=x\,(1,-1,0,0)+z\,(0,0,1,1).
Isto mostra que
S=\operatorname{span}\{(1,-1,0,0),\;(0,0,1,1)\},
isto é, S é o subespaço gerado por esses dois vetores (toda combinação linear deles). Como um span é sempre um subespaço, isso dá outra prova elegante de que S é subespaço. Além disso, isso mostra que \dim(S)=2.

Resposta

Definição: Seja W\subset\mathbb{R}^n. W é subespaço vetorial se 0\in W e para quaisquer u,v\in W e qualquer \alpha\in\mathbb{R} vale u+v\in W e \alpha u\in W.\n
Resultado para S: S é subespaço vetorial de \mathbb{R}^4; alternativamente S=\operatorname{span}\{(1,-1,0,0),\,(0,0,1,1)\} e \dim(S)=2.

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