Questão 2.2
a) Defina subespaço vetorial.
Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
T=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid\right\} \subset \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) uma definição de “subespaço vetorial” e (b) que se determine se certos subconjuntos (que deveriam vir a seguir) são subespaços do respectivo T=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid\\ \right\}\subset\mathbb{R}^3. As informações fornecidas estão incompletas: o conjunto T aparece com a condição após o símbolo \mid vazia, e os “subconjuntos abaixo” mencionados no enunciado não foram enviados. Portanto, não há dados concretos suficientes para decidir sobre esses subconjuntos.

Passo 2

Vamos primeiro definir cuidadosamente o que é um subespaço vetorial — isso responde à letra (a) e é o ponto central para você saber o que checar numa prova.
Definição: um subconjunto W\) de um espaço vetorial \(V\) (aqui \(V=\mathbb{R}^3\)) é um subespaço vetorial se, e somente se, as três condições seguintes valem: \[\begin{cases} \text{(i) } \mathbf{0}\in W,\\[4pt] \text{(ii) } \text{para quaisquer } \mathbf{u},\mathbf{v}\in W,\; \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W,\\[4pt] \text{(iii) } \text{para qualquer escalar } c\in\mathbb{R}\text{ e qualquer } \mathbf{u}\in W,\; c\mathbf{u}\in W. \end{cases}
Explicando de modo concreto: \mathbf{0}\] é o vetor nulo \((0,0,0). A condição (ii) diz que W é fechado sob soma de vetores; (iii) diz que W é fechado sob multiplicação por escalares. Essas três condições são equivalentes à exigência “fechado sob combinações lineares” (qualquer combinação linear de vetores de W permanece em W).]

Passo 3

Por que essas condições? Rápido intuitivo:
  • Se W não contiver o zero, então não pode ser subespaço, porque todo subespaço deve conter o zero (pega c=0 e qualquer \mathbf{u}\in W: 0\mathbf{u}=\mathbf{0} tem que estar em W).
  • Fechamento por soma e por escalares garante que qualquer combinação linear a\mathbf{u}+b\mathbf{v} esteja em W. Na prova, quase sempre você verifica essas três coisas.

Passo 4

Método prático passo a passo (o que fazer na prova quando te derem um subconjunto S\subset\mathbb{R}^3):
  1. Verifique se \mathbf{0}=(0,0,0) pertence a S. Se não pertence, pare: não é subespaço.
  2. Pegue vetores genéricos \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3)\in S e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3)\in S, escreva as condições que caracterizam S e mostre que essas mesmas condições valem para \mathbf{u}+\mathbf{v}. Isso prova fechamento por soma.
  3. Pegue c\in\mathbb{R} e \mathbf{u}\in S e mostre que c\mathbf{u} também satisfaz as condições que definem S. Isso prova fechamento por escalares.
  4. Se as verificações das etapas 1–3 funcionarem, S é subespaço; caso contrário, não é.
Dica rápida: se S é descrito por equações lineares homogêneas (todas iguais a zero), por exemplo
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid ax+by+cz=0\},
então automaticamente S é subespaço — porque somas e múltiplos preservam a igualdade com zero. Se a equação for não-homogênea (por exemplo ax+by+cz=d com d\neq 0), então S não é subespaço, pois \mathbf{0} não satisfaz essa equação quando d\neq 0.

Passo 5

Vou fazer dois exemplos completos e bem mastigados para você pegar o jeito.
Exemplo A (é subespaço). Seja
W_1=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+2y+3z=0\}.
  1. Verifico \mathbf{0}: 0+2\cdot 0+3\cdot 0=0, logo \mathbf{0}\in W_1.
  2. Fechamento por soma: tome \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3)\in W_1 e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3)\in W_1. Então
u_1+2u_2+3u_3=0,\qquad v_1+2v_2+3v_3=0.
Somando as igualdades dá
(u_1+v_1)+2(u_2+v_2)+3(u_3+v_3)=0,
logo \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W_1.
3. Fechamento por escalares: para c\in\mathbb{R},
c u_1+2(c u_2)+3(c u_3)=c(u_1+2u_2+3u_3)=c\cdot 0=0,
logo c\mathbf{u}\in W_1.
Conclusão: W_1 é subespaço.
Exemplo B (não é subespaço). Seja
W_2=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+2y+3z=1\}.
  1. Verifico \mathbf{0}: 0+2\cdot 0+3\cdot 0=0\neq 1. Então \mathbf{0}\notin W_2.
    Conclusão imediata: W_2 não é subespaço (não é preciso checar mais). Outra forma de ver: se \mathbf{u}\in W_2, então 2\mathbf{u} teria soma de coordenadas igual a 2, não 1, então fechamento por escalares falha.

Passo 6

Resumo prático para a prova (decidir rápido em 1–2 minutos):
  • Primeiro olhe: a descrição é homogênea (igualdade com zero / combinações lineares) ou não? Se for homogênea, tende a ser subespaço. Se não for, provavelmente não é.
  • Teste rápido: \mathbf{0}\in S? Se não, responda “não é subespaço” e justifique citando \mathbf{0}.
  • Se \mathbf{0}\in S, faça uma verificação rápida de fechamento: pegue elementos genéricos e mostre que soma e múltiplo também satisfazem a condição.

Passo 7

Sobre o seu enunciado específico: como os subconjuntos que você quer que eu analise não foram fornecidos (o conjunto T aparece sem condição e não há lista dos subconjuntos), não há como eu testar cada caso e dar uma resposta certa. Não inventarei os subconjuntos. Se você colar os subconjuntos concretos (por exemplo, um por linha: T_1=\{(x,y,z)\mid \ldots\}, T_2=\{(x,y,z)\mid \ldots\}, etc.), eu faço a verificação detalhada passo a passo como nos exemplos acima e te ensino a raciocinar na prova.

Resposta

(a) Um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço vetorial se, e somente se, \mathbf{0}\in W, W é fechado sob soma (para quaisquer \mathbf{u},\mathbf{v}\in W tem \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W) e W é fechado sob multiplicação por escalares (para todo c\in\mathbb{R} e \mathbf{u}\in W tem c\mathbf{u}\in W).
(b) Não é possível determinar: os subconjuntos a serem testados não foram fornecidos no enunciado.

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