Questão 2.2
a) Defina subespaço vetorial.
Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
a) Defina subespaço vetorial.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) uma definição de “subespaço vetorial” e (b) que se determine se certos subconjuntos (que deveriam vir a seguir) são subespaços do respectivo
. As informações fornecidas estão incompletas: o conjunto
aparece com a condição após o símbolo
vazia, e os “subconjuntos abaixo” mencionados no enunciado não foram enviados. Portanto, não há dados concretos suficientes para decidir sobre esses subconjuntos.
Passo 2
Vamos primeiro definir cuidadosamente o que é um subespaço vetorial — isso responde à letra (a) e é o ponto central para você saber o que checar numa prova.
Definição: um subconjunto
Explicando de modo concreto:
. A condição (ii) diz que
é fechado sob soma de vetores; (iii) diz que
é fechado sob multiplicação por escalares. Essas três condições são equivalentes à exigência “fechado sob combinações lineares” (qualquer combinação linear de vetores de
permanece em
).]
Passo 3
Por que essas condições? Rápido intuitivo:
- Se
não contiver o zero, então não pode ser subespaço, porque todo subespaço deve conter o zero (pega e qualquer : tem que estar em ). - Fechamento por soma e por escalares garante que qualquer combinação linear
esteja em . Na prova, quase sempre você verifica essas três coisas.
Passo 4
Método prático passo a passo (o que fazer na prova quando te derem um subconjunto
):
- Verifique se
pertence a . Se não pertence, pare: não é subespaço. - Pegue vetores genéricos
e , escreva as condições que caracterizam e mostre que essas mesmas condições valem para . Isso prova fechamento por soma. - Pegue
e e mostre que também satisfaz as condições que definem . Isso prova fechamento por escalares. - Se as verificações das etapas 1–3 funcionarem,
é subespaço; caso contrário, não é.
Dica rápida: se
é descrito por equações lineares homogêneas (todas iguais a zero), por exemplo
então automaticamente
é subespaço — porque somas e múltiplos preservam a igualdade com zero. Se a equação for não-homogênea (por exemplo
com
), então
não é subespaço, pois
não satisfaz essa equação quando
.
Passo 5
Vou fazer dois exemplos completos e bem mastigados para você pegar o jeito.
Exemplo A (é subespaço). Seja
- Verifico
: , logo . - Fechamento por soma: tome
e . Então
Somando as igualdades dá
logo
.
3. Fechamento por escalares: para ,
3. Fechamento por escalares: para
logo
.
Conclusão: é subespaço.
Conclusão:
Exemplo B (não é subespaço). Seja
- Verifico
: . Então .
Conclusão imediata:não é subespaço (não é preciso checar mais). Outra forma de ver: se , então teria soma de coordenadas igual a , não , então fechamento por escalares falha.
Passo 6
Resumo prático para a prova (decidir rápido em 1–2 minutos):
- Primeiro olhe: a descrição é homogênea (igualdade com zero / combinações lineares) ou não? Se for homogênea, tende a ser subespaço. Se não for, provavelmente não é.
- Teste rápido:
? Se não, responda “não é subespaço” e justifique citando . - Se
, faça uma verificação rápida de fechamento: pegue elementos genéricos e mostre que soma e múltiplo também satisfazem a condição.
Passo 7
Sobre o seu enunciado específico: como os subconjuntos que você quer que eu analise não foram fornecidos (o conjunto
aparece sem condição e não há lista dos subconjuntos), não há como eu testar cada caso e dar uma resposta certa. Não inventarei os subconjuntos. Se você colar os subconjuntos concretos (por exemplo, um por linha:
,
, etc.), eu faço a verificação detalhada passo a passo como nos exemplos acima e te ensino a raciocinar na prova.
Resposta
(a) Um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço vetorial se, e somente se,
,
é fechado sob soma (para quaisquer
tem
) e
é fechado sob multiplicação por escalares (para todo
e
tem
).
(b) Não é possível determinar: os subconjuntos a serem testados não foram fornecidos no enunciado.
(b) Não é possível determinar: os subconjuntos a serem testados não foram fornecidos no enunciado.