Conjunto \mathbf{S}=\mathbf{v}_{\mathbf{1}}=(\mathbf{1 , 2 , 0 , 1}), \mathbf{v}_{\mathbf{2}}=(\mathbf{0 , 1 , 1 , 2}), \mathbf{v}_{\mathbf{3}}=(\mathbf{1 , 0 , 1 , 0}), \mathbf{v}_{\mathbf{4}}=(\mathbf{2 , 1 , 1 , 3}) \subset \mathbb{R}^{\mathbf{4}} é o subespaços vetorial \mathrm{W}=\mathrm{L}(\mathrm{S}).
a) Defina base e dimensão de um espaço vetorial.
b) Determine uma base e a dimensão de W .
c) Determine se v=(1,1,2,1) \in W.
d) Use o método de Gram-Schmidt para determinar uma base ortogonal de W .
Passo 1
O enunciado dá o conjunto S=\{\,\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4\}\subset\mathbb{R}^4 com
e define W=\mathrm{L}(S), o espaço gerado por S. As perguntas são:
(a) Definir base e dimensão de um espaço vetorial.
(b) Determinar uma base e a dimensão de W.
(c) Verificar se \mathbf{v}=(1,1,2,1) pertence a W (e, se sim, escrever como combinação linear).
(d) Usar o método de Gram–Schmidt para determinar uma base ortogonal de W.
Passo 2
(a) Definições — vou explicar de forma didática:
Uma família de vetores \{u_1,\dots,u_k\} em um espaço vetorial V é uma base de V se duas condições ocorrem simultaneamente:
Geram V: ou seja, todo vetor de V é combinação linear de u_1,\dots,u_k. Isso significa V=\mathrm{L}\{u_1,\dots,u_k\}.
São linearmente independentes: a única solução do sistema \alpha_1 u_1+\cdots+\alpha_k u_k=0 é \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0.
A dimensão de V, denotada \dim V, é o número de vetores em qualquer base de V. Importante: todas as bases têm o mesmo número de vetores. Exemplo simples: em \mathbb{R}^2 a base padrão é \{(1,0),(0,1)\} e \dim\mathbb{R}^2=2.
Passo 3
(b) Determinar base e dimensão de W\).
Vou verificar se os vetores \(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4\) são linearmente independentes. Coloco esses vetores como colunas da matriz \(A\) e faço redução por linhas:
\[A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}.
Faço eliminação (vou mostrar passo a passo os pivôs e operações principais):
chego à matriz identidade I_4. Ou seja, a redução mostra que as quatro colunas são linearmente independentes e a matriz tem posto 4.
Conclusão intermediária: as quatro colunas são independentes, portanto \mathrm{rank}(A)=4.]
Passo 4
(b) (continuação) Como temos quatro vetores linearly independentes em \mathbb{R}^4, eles formam uma base de \mathbb{R}^4. Portanto W=\mathrm{L}(S)=\mathbb{R}^4. Logo:
Uma base possível de W é exatamente S=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4\}.
A dimensão é \dim W = 4.
Explicação curta de porquê: em \mathbb{R}^4 4 vetores linearmente independentes já geram todo \mathbb{R}^4, por isso W=\mathbb{R}^4 e \dim W=4.
Passo 5
(c) Verificar se \mathbf{v}=(1,1,2,1)\in W — como W=\mathbb{R}^4 a resposta é sim; mas vou também encontrar coeficientes \alpha_1,\dots,\alpha_4 tais que
Resolvo o sistema A\boldsymbol{\alpha}=\mathbf{v} com A das colunas e \mathbf{v}=(1,1,2,1) como vetor de termos independentes. Faço a redução aplicada ao sistema (mostro as operações principais, já que parte delas usei quando reduzi A):
Aplicando as mesmas operações de eliminação usadas antes (detalhes aritméticos omitidos aqui, mas seguem as mesmas etapas do Passo 3), chego à forma escalonada reduzida com solução direta para os coeficientes:
Verificação rápida (produto escalar por linhas): com esses coeficientes realmente obtém-se (1,1,2,1). Portanto \mathbf{v}\in W e uma combinação linear é
(d) Gram–Schmidt — objetivo: a partir da base S obter uma base ortogonal de W. Vou usar o produto interno canônico (produto escalar padrão em \mathbb{R}^4). Gram–Schmidt gera vetores ortogonais u_1,u_2,u_3,u_4 assim:
Para simplificar os cálculos seguintes, escolho um múltiplo escalar de u_2 (a escala não altera ortogonalidade): multiplico por 3 e trabalho com
e_2=3u_2=(-2,-1,3,4).
Verifique que e_2 é ortogonal a u_1 (produto escalar zero).
Passo 8
Calculo de u_3. Primeiro os produtos com u_1 e com a versão não normalizada de u_2 (usei e_2 por conveniência; ao usar e_2 devo usar \langle e_2,e_2\rangle no denominador):
Novamente escolho um múltiplo escalar inteiro que simplifica: multiplico por \tfrac{10}{3} e tomo
e_3=(3,-1,3,-1),
que é ortogonal a u_1 e a e_2.
Passo 9
Calculo de u_4. Usarei os vetores ortogonais escolhidos u_1=(1,2,0,1),\\ e_2=(-2,-1,3,4),\\ e_3=(3,-1,3,-1). Primeiro calcule os quadrados (normas ao quadrado) e produtos necessários:
Esses quatro vetores são mutuamente ortogonais (produtos internos zero) e geram W. Se quiser uma base ortonormal, basta normalizar cada um dividindo pela sua norma.
Resposta
(a) Uma base de um espaço vetorial V é uma família de vetores que gera V e é linearmente independente. A dimensão de V é o número de vetores em qualquer base de V.
(b) Uma base de W é \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3,\mathbf{v}_4\} e \dim W=4.
(c) Sim, \mathbf{v}=(1,1,2,1)\in W e uma combinação é \displaystyle \mathbf{v}=\tfrac{2}{9}\mathbf{v}_1+\tfrac{8}{9}\mathbf{v}_2+\tfrac{13}{9}\mathbf{v}_3-\tfrac{1}{3}\mathbf{v}_4.
(d) Uma base ortogonal de W (obtida por Gram–Schmidt) é