Questão 2. Dado que z \in \mathbb{C} e n \in \mathbb{N}, determine todas as soluçōes da seguinte equação:
(z+1)^{n}=(z-1)^{n}

Passo 1

O enunciado dá que z\in\mathbb{C} e n\in\mathbb{N} e pede: determinar todas as soluções da equação
(z+1)^{n}=(z-1)^{n}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Temos uma igualdade entre duas potências de expoente inteiro n.
  • A incógnita é z, um número complexo arbitrário.
  • Deve-se listar todas as soluções z possíveis, em função de n.

Passo 2

Primeira observação algébrica simples: se a,b\in\mathbb{C} e a^{n}=b^{n}, então existe alguma raiz n-ésima da unidade \omega tal que a=\omega b. Vou aplicar isso com a=z+1 e b=z-1. Logo existe \omega com
\omega^{n}=1
tal que
z+1=\omega\,(z-1).
Aqui eu usei a propriedade das potências: duas complexas têm a mesma n-ésima potência quando uma é obtida da outra por multiplicação por uma raiz n-ésima da unidade.

Passo 3

Agora resolvo a equação linear em z obtida:
z+1=\omega(z-1).
Passo todos os termos com z para um lado:
z-\omega z = -1-\omega.
Factorizando z:
(1-\omega)z = -(1+\omega).
Se 1-\omega\neq 0, então
z = -\frac{1+\omega}{1-\omega}.
Se 1-\omega=0, isto é \omega=1, então a equação original se tornaria z+1=z-1, que é impossível (dá 1=-1). Portanto \omega não pode ser 1. Conclusão: aceitaremos apenas as raízes n-ésimas da unidade \omega tais que \omega^{n}=1 e \omega\neq 1.

Passo 4

Vamos parametrizar as raízes n-ésimas da unidade. Todas são
\omega_k = e^{2\pi i k/n},\qquad k=0,1,\dots,n-1.
Excluímos k=0 (que dá \omega_0=1). Para k=1,2,\dots,n-1 temos \omega=\omega_k e, pela fórmula do passo anterior,
z_k = -\frac{1+\omega_k}{1-\omega_k}.
Isso já descreve as soluções, mas dá para simplificar para uma forma trigonométrica mais clara e didática.

Passo 5

Escrevendo \omega_k=e^{i\theta} com \theta=\dfrac{2\pi k}{n} (e lembrando \theta\not\equiv 0\pmod{2\pi}), uso as identidades
1+e^{i\theta}=2e^{i\theta/2}\cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right), \qquad 1-e^{i\theta}=-2i e^{i\theta/2}\sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right).
Dividindo:
\frac{1+e^{i\theta}}{1-e^{i\theta}} =\frac{2e^{i\theta/2}\cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right)}{-2i e^{i\theta/2}\sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right)} =\frac{\cos\!\left(\frac{\theta}{2}\right)}{-i\sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right)} =i\cot\!\left(\frac{\theta}{2}\right).
Portanto
-\frac{1+e^{i\theta}}{1-e^{i\theta}}=-i\cot\!\left(\frac{\theta}{2}\right).
Substituindo \theta=\dfrac{2\pi k}{n} obtemos, para cada k=1,\dots,n-1,
z_k = -i\cot\!\left(\frac{\pi k}{n}\right).
Isto mostra duas coisas úteis: cada solução é um número puramente imaginário (porque \cot(\pi k/n) é real para esses k) e as soluções correspondem exatamente aos n-1 valores obtidos variando k.

Passo 6

Verificações rápidas e comentários didáticos (úteis na prova):
  • Caso n=1: não há k com 1\le k\le n-1, e de fato a equação (z+1)=(z-1) não tem solução. Então para n=1 não há soluções.
  • Caso n\ge 2: as soluções são exatamente
z_k=-i\cot\!\left(\frac{\pi k}{n}\right),\qquad k=1,2,\dots,n-1.
São n-1 soluções distintas (a função \cot em argumentos \pi k/n com k nessa faixa dá valores reais distintos), incluindo por exemplo:
  • n=2: k=1\Rightarrow z_1=-i\cot\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0, que de fato satisfaz (z+1)^2=(z-1)^2.
  • n=3: k=1,2\Rightarrow z_1=-i\cot\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=-i\frac{1}{\sqrt{3}},\; z_2=-i\cot\!\left(\frac{2\pi}{3}\right)=+i\frac{1}{\sqrt{3}}.

Resposta

Para n=1: não há solução.
Para n\ge 2:
z_k=-i\cot\!\left(\frac{\pi k}{n}\right),\qquad k=1,2,\dots,n-1.

Exercícios relacionados