Questão 2. Dado que
, determine todas as soluçōes da seguinte equação:
Passo 1
O enunciado dá que
e
e pede: determinar todas as soluções da equação
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Temos uma igualdade entre duas potências de expoente inteiro
. - A incógnita é
, um número complexo arbitrário. - Deve-se listar todas as soluções
possíveis, em função de .
Passo 2
Primeira observação algébrica simples: se
e
, então existe alguma raiz
-ésima da unidade
tal que
. Vou aplicar isso com
e
. Logo existe
com
tal que
Aqui eu usei a propriedade das potências: duas complexas têm a mesma
-ésima potência quando uma é obtida da outra por multiplicação por uma raiz
-ésima da unidade.
Passo 3
Agora resolvo a equação linear em
obtida:
Passo todos os termos com
para um lado:
Factorizando
:
Se
, então
Se
, isto é
, então a equação original se tornaria
, que é impossível (dá
). Portanto
não pode ser
. Conclusão: aceitaremos apenas as raízes
-ésimas da unidade
tais que
e
.
Passo 4
Vamos parametrizar as raízes
-ésimas da unidade. Todas são
Excluímos
(que dá
). Para
temos
e, pela fórmula do passo anterior,
Isso já descreve as soluções, mas dá para simplificar para uma forma trigonométrica mais clara e didática.
Passo 5
Escrevendo
com
(e lembrando
), uso as identidades
Dividindo:
Portanto
Substituindo
obtemos, para cada
,
Isto mostra duas coisas úteis: cada solução é um número puramente imaginário (porque
é real para esses
) e as soluções correspondem exatamente aos
valores obtidos variando
.
Passo 6
Verificações rápidas e comentários didáticos (úteis na prova):
- Caso
: não há com , e de fato a equação não tem solução. Então para não há soluções. - Caso
: as soluções são exatamente
São
soluções distintas (a função
em argumentos
com
nessa faixa dá valores reais distintos), incluindo por exemplo:
-
: , que de fato satisfaz . -
: .
Resposta
Para
: não há solução.
Para
: