Questão 9: Tendo como base a seção 4.4 do Vol. 3 do livro Física Básica de Moysés Nussenzveig que trata sobre dipolos elétricos:
Obtenha o campo elétrico de um dipolo a partir do potencial e calcule E(x, y, 0) e E(0,0, z);

Passo 1

O enunciado pede para obter o campo elétrico de um dipolo elétrico ideal a partir do potencial escalar e, em seguida, avaliar vec E(x,y,0) (plano z=0) e vec E(0,0,z) (eixo z). O conteúdo principal é o potencial de um dipolo de momento vec p=p,hat z
V(r,theta)=14pivarepsilon0,pcosthetar^2
e a definição do campo elétrico
vec E=-nabla V
Vamos usar coordenadas esféricas (r,theta,phi), achar Er e Etheta e depois especializar nos pontos pedidos.

Passo 2

Em coordenadas esféricas o operador gradiente vale
nabla V =hat r,partial Vpartial r +hattheta,1rpartial Vpartial theta +hatphi,1rsinthetapartial Vpartial phi
Como V não depende de phi, temos partial V/partialphi=0. Calculando:
partial Vpartial r =14pivarepsilon0,pcostheta,partialpartial rl(r^-2r) =-2pcostheta4pivarepsilon0,r^3,
partial Vpartial theta =14pivarepsilon0,pr^2,partialpartialtheta(costheta) =-psintheta4pivarepsilon0,r^2
Logo as componentes do campo são
Er=-partial Vpartial r =2pcostheta4pivarepsilon0,r^3, Etheta=-1rpartial Vpartialtheta =psintheta4pivarepsilon0,r^3, Ephi=0

Passo 3

Para o plano z=0 temos theta=pi/2, logo costheta=0, sintheta=1. Assim
Er=0, Etheta=p4pivarepsilon0,r^3 (r=raizx^2+y^2equivrho)
Em coordenadas cartesianas no plano z=0, o versor
hattheta=-sinphi,hat x+cosphi,hat y, cosphi=xrho,; sinphi=yrho
Então
vec E(x,y,0) =Etheta,hattheta =p4pivarepsilon0,rho^3 l(-sinphi,hat x+cosphi,hat yr) =p4pivarepsilon0,rho^3l(-y,hat x + x,hat yr)

Passo 4

No eixo z temos x=y=0, r=|z|. Para z>0 é theta=0 ( costheta=1,sintheta=0), para z<0 é theta=pi ( costheta=-1,sintheta=0). Em ambos os casos Etheta=0 e
Er=2pcostheta4pivarepsilon0,r^3 =2p,z4pivarepsilon0,|z|^3
no versor hat r=sgn(z),hat z. Assim
vec E(0,0,z) =2p4pivarepsilon0,z^3,hat z,
assumindo z>0 (para z<0 o sinal já vem de z^3).

Resposta

boxed vec E(x,y,0) =p4pivarepsilon0,(x^2+y^2)^3/2 l(-y,hat x + x,hat yr), vec E(0,0,z) =2p4pivarepsilon0,z^3,hat z

Exercícios relacionados