Questão 1. Decida se cada um dos conjuntos W abaixo são subespaços vetoriais do espaço vetorial real V. Demonstre em caso afirmativo e indique o axioma que falha, caso não seja subespaço.
V=M_{n}(\mathbb{R}) e W=\left\{A=\left(a_{i j}\right) \mid \operatorname{det} A=0\right\}

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial real V=M_{n}(\mathbb{R}) (todas as matrizes reais n\times n) e o subconjunto
W=\{A=(a_{ij})\in M_n(\mathbb{R}) \mid \det A = 0\}.
A pergunta é: decidir se W é subespaço vetorial de V.
Liste do que foi dado e do que é pedido:
  • Dado: o conjunto W formado por todas as matrizes n\times n que têm determinante igual a zero (matrizes singulares).
  • Pedido: dizer se W é subespaço de V. Se for, demonstrar (verificando os axiomas necessários); se não for, indicar qual axioma falha.

Passo 2

Lembrete prático e critério que vou usar (coisa que aparece sempre nessas questões): para um subconjunto não vazio W\subseteq V ser subespaço vetorial de V basta verificar três propriedades equivalentes e fáceis de checar:
  1. 0\in W (contém o vetor zero).
  2. W é fechado sob soma: se A,B\in W então A+B\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se A\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda A\in W.
    Se alguma dessas falhar, W não é subespaço. Vou checar cada uma.

Passo 3

Verificar se o zero está em W.
O zero em M_n(\mathbb{R}) é a matriz nula 0_{n} (todas as entradas zero). Sabemos que \det 0_{n}=0. Portanto
0_{n}\in W.
Ou seja, W é não vazio e contém o vetor zero — a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Verificar fechamento por multiplicação escalar. Vou usar uma propriedade do determinante: para toda matriz A\in M_n(\mathbb{R}) e todo escalar \lambda\in\mathbb{R} vale
\det(\lambda A)=\lambda^{n}\det(A).
Explicação didática curta dessa propriedade: o determinante é multilinear nas linhas (ou colunas) da matriz; multiplicar a matriz por \lambda multiplica cada uma das n linhas por \lambda, logo aparece o fator \lambda^{n}. Assim, se \det(A)=0 então \det(\lambda A)=\lambda^{n}\cdot 0=0. Conclusão:
  • Se A\in W (ou seja \det A=0), então para qualquer \lambda\in\mathbb{R} também \lambda A\in W.
    Portanto W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Verificar fechamento por soma (ponto crítico). Precisamos checar se para quaisquer A,B\in W tem sempre \det(A+B)=0. Em geral isso NÃO é verdade para n\ge 2. Vou construir um contraexemplo explícito que funciona para todo n\ge 2.
Considere a matriz E_{11} definida por ter 1 na entrada (1,1) e zeros nas demais posições. Em notação matricial,
E_{11}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\[2pt] 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\\[2pt] \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\[2pt] 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}\in M_n(\mathbb{R}).
Tomemos
A=E_{11},\qquad B=I_n-E_{11},
onde I_n é a matriz identidade n\times n.
  • Verifico que A\in W: a matriz A=E_{11} tem posto 1 (ou tem uma linha nula), então \det A=0.
  • Verifico que B\in W: B=I_n-E_{11} é a matriz diagonal com entradas (0,1,1,\dots,1) na diagonal, portanto \det B=0 (produto das diagonais, tem um zero).
  • Mas
A+B = E_{11} + (I_n-E_{11}) = I_n,
e \det(I_n)=1\neq 0. Assim A+B\notin W.
Esse contraexemplo mostra que, para todo n\ge 2, existem A,B\in W cuja soma não pertence a W. Portanto, para n\ge 2 a propriedade de fechamento por soma falha.
(Para ficar mais intuitivo, em n=2 um exemplo numérico simples é
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix},
ambas têm determinante 0, mas A+B=I_2 tem determinante 1.)]

Passo 6

Considerar o caso n=1 separadamente (caso especial).
Se n=1 então M_1(\mathbb{R})\cong\mathbb{R} e uma matriz 1\times1 é simplesmente [a] com \det([a])=a. O conjunto
W=\{[a]\in M_1(\mathbb{R})\mid a=0\}=\{[0]\}
é apenas o conjunto que contém a matriz nula. Esse conjunto \{0\} é sempre subespaço (contém zero, fechado sob soma e escalares). Logo para n=1 o conjunto W é subespaço.

Passo 7

Conclusão e identificação do axioma que falha:
  • Para n\ge 2: W não é subespaço vetorial porque falha o fechamento por soma (existe A,B\in W com A+B\notin W). Mostrei explicitamente A=E_{11} e B=I_n-E_{11} como contraexemplo; portanto o axioma que falha é o da adição (fechamento sob adição). Note que outras condições (contém 0, fechado por escalares) são satisfeitas, mas já que um axioma falha, W não é subespaço.
  • Para n=1: W=\{0\} é subespaço.

Resposta

Para n=1: W é subespaço (é \{0\}).
Para n\ge 2: W não é subespaço; falha o fechamento por soma (ex.: E_{11},\,I_n-E_{11}\in W mas E_{11}+(I_n-E_{11})=I_n\notin W).

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