Questão 6: Densidade de Carga em Condutores
Explique o fenômeno das “pontas” (poder das pontas) utilizando o conceito de potencial elétrico. Se dois condutores esféricos de raios "
" e "
" (
) estão conectados por um fio condutor longo e carregados:
- Qual esfera terá maior densidade superficial de carga (
)?
- Qual terá maior potencial elétrico? Justifique sua resposta analisando o equilíbrio eletrostático.
Passo 1
O enunciado dá duas esferas condutoras, ligadas por um fio condutor longo, com raios
e
tais que
. As esferas estão carregadas e alcançam equilíbrio eletrostático. As perguntas são:
- Qual esfera terá maior densidade superficial de carga
? - Qual terá maior potencial elétrico? Pedem justificativa analisando o equilíbrio eletrostático.
Informações relevantes fornecidas no enunciado:
- Há duas esferas condutoras truncas, raios
e . - As esferas estão conectadas por um fio condutor longo (logo: são um único condutor em equilíbrio).
- Estão carregadas (quantidade total de carga qualquer, não especificada).
- Sabemos que o equilíbrio eletrostático será atingido (estado estacionário).
Passo 2
Conceitos essenciais — explicação didática e bem passadinha (sem pular etapas):
- O que é potencial elétrico de um condutor?
- O potencial elétrico
num ponto é, por definição, o trabalho por unidade de carga para levar uma carga de referência do infinito até esse ponto, contra o campo elétrico. Para um condutor isolado em equilíbrio, todo o condutor está no mesmo potencial (é um corpo equipotencial).
- Campo elétrico e carga em condutor em equilíbrio:
- No interior de um condutor em equilíbrio eletrostático o campo elétrico é nulo:
. - Toda carga livre reside na superfície do condutor.
- O campo elétrico imediatamente fora da superfície do condutor, na direção normal exterior, é ligado à densidade superficial de carga
por:
onde
é a permissividade do vácuo. Isso significa que um
maior implica um campo mais intenso saindo da superfície.
- Potencial de uma esfera condutora isolada (fórmula e como obter):
- Para uma esfera condutora isolada de raio
com carga total , o campo fora da esfera age como se toda a carga estivesse concentrada no centro. Assim, para ,
- O potencial no exterior, tomando
, é dado pela integral do campo:
Aqui
é o potencial da superfície da esfera (e do corpo todo, já que é equipotencial).
- Relação entre
, e numa esfera:
- A carga total é
, então podemos escrever o campo e o potencial em termos de também. Em particular, usando e obtemos:
Ou reorganizando,
Essa fórmula é muito útil: para uma esfera num potencial
, a densidade superficial média é proporcional a
e inversamente proporcional ao raio
.
Passo 3
Aplicando o conceito de equilíbrio ao caso de duas esferas conectadas:
- As duas esferas estão ligadas por um fio condutor longo. Em equilíbrio eletrostático todo o conjunto condutor fica no mesmo potencial. Portanto:
onde
é o potencial da esfera de raio
e
o da esfera de raio
.
- Usando a fórmula do potencial de uma esfera em função da carga:
Igualando
e
(equipotencialidade) obtemos:
Isto mostra que as cargas
e
se redistribuem de modo que
.
Passo 4
Encontrando as densidades superficiais
e
:
- A densidade superficial média em cada esfera é
. - Como da igualdade de potenciais temos
para alguma constante (explicitamente ), substituímos:
- Portanto
é inversamente proporcional ao raio . Como , segue que
Ou seja: a esfera menor (raio
) terá maior densidade superficial de carga.
Passo 5
Interpretação física e conexão com o “poder das pontas”:
- Apesar de a esfera menor ter menos carga total (pois
, então se ), a carga está concentrada numa área muito menor, então a densidade superficial fica maior na esfera menor. - O campo elétrico logo fora da superfície é
. Assim a esfera menor produz um campo externo mais intenso na sua vizinhança do que a esfera maior. - O “poder das pontas” é exatamente essa ideia: regiões de curvatura maior (raios locais menores, pontas agudas) exigem que, para manter o mesmo potencial do resto do condutor, a densidade superficial local seja maior — o que produz campos elétricos locais muito altos. Esses campos altos facilitam ionização do ar, emissão de cargas e descargas (faíscas), por isso pontas “disparam” mais facilmente.
Passo 6
Resumo didático com um exemplo numérico simples (para fixar):
- Suponha que, depois do contato, o potencial comum seja
. Então
- Se
, então e . A esfera menor tem densidade de carga duas vezes maior, embora sua carga total seja metade da carga da esfera maior.
Resposta
A esfera de raio
(a menor) terá maior densidade superficial de carga
.
As duas esferas terão o mesmo potencial elétrico (equipotencial), porque estão conectadas por fio em equilíbrio eletrostático.
As duas esferas terão o mesmo potencial elétrico