Questão 5: Energia e Capacitores com Dielétricos
Um capacitor de placas paralelas de área “A” e separação “d” está conectado a uma bateria de voltagem “V”. Um dielétrico de constante " K " é inserido até preencher metade do volume do capacitor.
A) O dielétrico é inserido de forma que preenche metade da área das placas ou metade da distância entre elas? Analise como a capacitância equivalente difere nos dois casos (associações em série vs. paralelo).
B) Calcule a força exercida sobre a placa do dielétrico enquanto ele é inserido, assumindo que a bateria permanece conectada.
A) O dielétrico é inserido de forma que preenche metade da área das placas ou metade da distância entre elas? Analise como a capacitância equivalente difere nos dois casos (associações em série vs. paralelo).
B) Calcule a força exercida sobre a placa do dielétrico enquanto ele é inserido, assumindo que a bateria permanece conectada.
Passo 1
O enunciado dá um capacitor de placas paralelas com:
- área das placas
, - separação entre placas
, - ligado a uma bateria de tensão
, - um dielétrico de constante
é inserido até preencher metade do volume do capacitor.
O que é pedido:
- (A) Explicar se “metade do volume” significa metade da área das placas ou metade da distância entre elas, e analisar como a capacitância equivalente difere nos dois casos (associações em série vs. paralelo).
- (B) Calcular a força exercida sobre o dielétrico enquanto ele é inserido, assumindo que a bateria permanece conectada (isto é,
constante).
Informações úteis que iremos usar (constantes e símbolos):
-
= permissividade do vácuo. - Permissividade do dielétrico:
. - Capacitância de um capacitor de placas paralelas sem dielétrico:
.
A resolução começa agora.
Passo 2
Caso 1 — o dielétrico preenche metade da área das placas (mesma separação
, área coberta
).
Ideia física: quando o dielétrico ocupa metade da área, podemos imaginar o capacitor como duas regiões lado a lado cobrindo toda a separação
: uma região com dielétrico (área
) e outra sem dielétrico (área
). Essas duas regiões estão sujeitas à mesma diferença de potencial
entre as placas (mesmas placas, mesma
), portanto são capacitores em paralelo. Para capacitores em paralelo a capacitância equivalente é a soma das capacitâncias.
Cálculo:
- Capacitância da parte com dielétrico (área
):
- Capacitância da parte sem dielétrico (área
):
- Capacitância equivalente (paralelo):
Explicação rápida do que cada símbolo representa:
é a capacitância total quando o dielétrico ocupa metade da área;
,
,
,
já definidos.
Passo 3
Caso 2 — o dielétrico preenche metade da distância entre as placas (ou seja, uma camada de espessura
com dielétrico e uma camada de espessura
sem dielétrico, cobrindo toda a área
).
Ideia física: agora o campo elétrico cruza sequencialmente duas camadas com diferentes permissividades; isso é equivalente a dois capacitores empilhados ao longo da direção do campo — portanto capacitores em série. Para capacitâncias em série vale
Cálculo:
- Capacitância da parte dielétrica (espessura
, área , permissividade ):
- Capacitância da parte sem dielétrico (espessura
, área , permissividade ):
- Usando série:
Portanto
Aqui
é a capacitância equivalente quando o dielétrico ocupa metade da separação.
Passo 4
Comparação entre as duas configurações.
Vamos escrever as duas fórmulas em termos de
:
Comparando (uma forma direta):
Note que
com igualdade somente quando
. Assim, para
temos
. Interpretação física: preencher metade da área com dielétrico é mais eficiente para aumentar a capacitância do que preencher metade da separação (quando comparados com a mesma fração de volume preenchida).
Passo 5
Princípio para calcular a força quando a bateria permanece conectada (
constante).
Energeticamente, com a bateria conectada a tensão
permanece fixa. A energia elétrica armazenada no capacitor é
onde
é a capacitância que depende da posição de inserção do dielétrico (uma coordenada
que descreve quanto do dielétrico está dentro). Se o dielétrico for deslocado por
, a variação de energia é
. A força eletrostática
que puxa o dielétrico na direção que aumenta
realiza trabalho
. Portanto, a expressão geral para a força é
Observações importantes:
-
é a coordenada de inserção (definida por conveniência conforme o caso geométrico). - Se
(capacitância aumenta ao inserir), então : a força puxa o dielétrico para dentro. - Esta fórmula é válida para bateria conectada (tensão fixa). Para capacitor isolado (carga
fixa) a energia é e a força tem sinal oposto: se se mantivesse constante — não é o nosso caso.
Passo 6
Força no caso do dielétrico entrando cobrindo parte da área (deslizamento lateral).
Geometria de referência: suponha que as placas têm comprimento total
na direção de inserção e largura
perpendicular a essa direção, de modo que
. Defina
como o comprimento do interior ocupado pelo dielétrico (
), então a área ocupada pelo dielétrico é
.
Capacitância em função de
:
- Região com dielétrico: área
com capacitância . - Região sem dielétrico: área
com .
Como estão em paralelo (mesma):
Derivando em relação a
:
Aplicando a fórmula da força:
Substituindo
(caso prefira escrever em termos de
e
):
Observações:
- A força é independente da posição
: constante enquanto o dielétrico desliza. - Para
a força puxa o dielétrico para dentro (sentido que aumenta ).
Passo 7
Força no caso do dielétrico avançando ao longo da separação (camadas em série). Aqui a coordenada de inserção será a espessura
do dielétrico que está entre as placas (
). A área é inteira
.
Capacitância quando a espessura inserida é
:
- A camada dielétrica tem espessura
e permissividade . - A camada de vácuo tem espessura
e permissividade .
Sendo capacitores em série,
Logo
Derivando:
Aplicando
:
Valor no ponto em que o dielétrico ocupa metade da distância (
):
- Calcule
. - Então
Interpretação:
- Também aqui, para
, : o dielétrico é puxado para dentro (aumentar aumenta ). - A força varia com
neste caso (não é constante).
Passo 8
Resumo físico e observações finais (rápidas):
- Preencher metade da área → associação em paralelo →
. - Preencher metade da separação → associação em série →
. - Para
, . - Força geral com bateria ligada:
. Aplicada aos dois casos: - inserção lateral (metade da área):
, com (ou ); - inserção ao longo da separação (metade da distância, no ponto
):
- inserção lateral (metade da área):
Força puxa o dielétrico para dentro em ambos os casos quando
.
Resposta
(A) Se o dielétrico ocupa metade da área (mesma espessura
), os dois subcapacitores ficam em paralelo e
Se o dielétrico ocupa metade da distância entre placas (duas camadas de espessura
), os subcapacitores ficam em série e
Além disso, para
vale
(igualdade só em
).
(B) Fórmula geral com bateria conectada:
.
- Inserção lateral (dielétrico cobrindo comprimento
de , área ):
(esta força é constante durante o deslizamento).
- Inserção ao longo da separação (espessura inserida
, área ):
Em particular, para
: