Questão 5: Energia e Capacitores com Dielétricos

Um capacitor de placas paralelas de área “A” e separação “d” está conectado a uma bateria de voltagem “V”. Um dielétrico de constante " K " é inserido até preencher metade do volume do capacitor.
A) O dielétrico é inserido de forma que preenche metade da área das placas ou metade da distância entre elas? Analise como a capacitância equivalente difere nos dois casos (associações em série vs. paralelo).
B) Calcule a força exercida sobre a placa do dielétrico enquanto ele é inserido, assumindo que a bateria permanece conectada.

Passo 1

O enunciado dá um capacitor de placas paralelas com:
  • área das placas A,
  • separação entre placas d,
  • ligado a uma bateria de tensão V,
  • um dielétrico de constante K é inserido até preencher metade do volume do capacitor.
O que é pedido:
  • (A) Explicar se “metade do volume” significa metade da área das placas ou metade da distância entre elas, e analisar como a capacitância equivalente difere nos dois casos (associações em série vs. paralelo).
  • (B) Calcular a força exercida sobre o dielétrico enquanto ele é inserido, assumindo que a bateria permanece conectada (isto é, V constante).
Informações úteis que iremos usar (constantes e símbolos):
  • \varepsilon_0 = permissividade do vácuo.
  • Permissividade do dielétrico: \varepsilon = K\,\varepsilon_0.
  • Capacitância de um capacitor de placas paralelas sem dielétrico: C_0 = \dfrac{\varepsilon_0 A}{d}.
    A resolução começa agora.

Passo 2

Caso 1 — o dielétrico preenche metade da área das placas (mesma separação d, área coberta A/2).
Ideia física: quando o dielétrico ocupa metade da área, podemos imaginar o capacitor como duas regiões lado a lado cobrindo toda a separação d: uma região com dielétrico (área A/2) e outra sem dielétrico (área A/2). Essas duas regiões estão sujeitas à mesma diferença de potencial V entre as placas (mesmas placas, mesma V), portanto são capacitores em paralelo. Para capacitores em paralelo a capacitância equivalente é a soma das capacitâncias.
Cálculo:
  • Capacitância da parte com dielétrico (área A/2):
C_{\text{diel}}=\frac{K \varepsilon_0 (A/2)}{d}=\frac{\varepsilon_0 A}{d}\cdot\frac{K}{2}.
  • Capacitância da parte sem dielétrico (área A/2):
C_{\text{vac}}=\frac{\varepsilon_0 (A/2)}{d}=\frac{\varepsilon_0 A}{d}\cdot\frac{1}{2}.
  • Capacitância equivalente (paralelo):
C_{\text{area}}=C_{\text{diel}}+C_{\text{vac}}=\frac{\varepsilon_0 A}{d}\cdot\frac{K+1}{2}.
Explicação rápida do que cada símbolo representa: C_{\text{area}} é a capacitância total quando o dielétrico ocupa metade da área; \varepsilon_0, A, d, K já definidos.

Passo 3

Caso 2 — o dielétrico preenche metade da distância entre as placas (ou seja, uma camada de espessura d/2 com dielétrico e uma camada de espessura d/2 sem dielétrico, cobrindo toda a área A).
Ideia física: agora o campo elétrico cruza sequencialmente duas camadas com diferentes permissividades; isso é equivalente a dois capacitores empilhados ao longo da direção do campo — portanto capacitores em série. Para capacitâncias em série vale
\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}.
Cálculo:
  • Capacitância da parte dielétrica (espessura d/2, área A, permissividade K\varepsilon_0):
C_1=\frac{K\varepsilon_0 A}{d/2}=\frac{2K\varepsilon_0 A}{d}.
  • Capacitância da parte sem dielétrico (espessura d/2, área A, permissividade \varepsilon_0):
C_2=\frac{\varepsilon_0 A}{d/2}=\frac{2\varepsilon_0 A}{d}.
  • Usando série:
\frac{1}{C_{\text{thick}}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2} =\frac{d}{2K\varepsilon_0 A}+\frac{d}{2\varepsilon_0 A} =\frac{d}{2\varepsilon_0 A}\left(\frac{1}{K}+1\right).
Portanto
C_{\text{thick}}=\frac{2\varepsilon_0 A}{d}\cdot\frac{K}{K+1} =\frac{\varepsilon_0 A}{d}\cdot\frac{2K}{K+1}.
Aqui C_{\text{thick}} é a capacitância equivalente quando o dielétrico ocupa metade da separação.

Passo 4

Comparação entre as duas configurações.
Vamos escrever as duas fórmulas em termos de C_0=\dfrac{\varepsilon_0 A}{d}:
C_{\text{area}}=C_0\cdot\frac{K+1}{2},\qquad C_{\text{thick}}=C_0\cdot\frac{2K}{K+1}.
Comparando (uma forma direta):
\frac{C_{\text{area}}}{C_{\text{thick}}}=\frac{(K+1)/2}{2K/(K+1)}=\frac{(K+1)^2}{4K}.
Note que
\frac{(K+1)^2}{4K}-1=\frac{K^2-2K+1}{4K}=\frac{(K-1)^2}{4K}\ge 0,
com igualdade somente quando K=1. Assim, para K\neq1 temos C_{\text{area}}>C_{\text{thick}}. Interpretação física: preencher metade da área com dielétrico é mais eficiente para aumentar a capacitância do que preencher metade da separação (quando comparados com a mesma fração de volume preenchida).

Passo 5

Princípio para calcular a força quando a bateria permanece conectada ( V constante).
Energeticamente, com a bateria conectada a tensão V permanece fixa. A energia elétrica armazenada no capacitor é
U=\frac{1}{2}C V^2,
onde C é a capacitância que depende da posição de inserção do dielétrico (uma coordenada x que descreve quanto do dielétrico está dentro). Se o dielétrico for deslocado por dx, a variação de energia é dU=\tfrac{1}{2}V^2\,dC. A força eletrostática F que puxa o dielétrico na direção que aumenta C realiza trabalho F\,dx=dU. Portanto, a expressão geral para a força é
F=\frac{dU}{dx}=\frac{1}{2}V^2\frac{dC}{dx}.
Observações importantes:
  • x é a coordenada de inserção (definida por conveniência conforme o caso geométrico).
  • Se dC/dx>0 (capacitância aumenta ao inserir), então F>0: a força puxa o dielétrico para dentro.
  • Esta fórmula é válida para bateria conectada (tensão fixa). Para capacitor isolado (carga Q fixa) a energia é U=Q^2/(2C) e a força tem sinal oposto: F=-\tfrac{1}{2}V^2 dC/dx se se mantivesse Q constante — não é o nosso caso.

Passo 6

Força no caso do dielétrico entrando cobrindo parte da área (deslizamento lateral).
Geometria de referência: suponha que as placas têm comprimento total L na direção de inserção e largura w perpendicular a essa direção, de modo que A=Lw. Defina x como o comprimento do interior ocupado pelo dielétrico ( 0\le x\le L ), então a área ocupada pelo dielétrico é xw.
Capacitância em função de x:
  • Região com dielétrico: área xw com capacitância C_{\text{d}}(x)=\dfrac{K\varepsilon_0 x w}{d}.
  • Região sem dielétrico: área (L-x)w com C_{\text{v}}(x)=\dfrac{\varepsilon_0 (L-x)w}{d}.
    Como estão em paralelo (mesma V):
C(x)=\frac{\varepsilon_0 w}{d}\big(Kx+(L-x)\big)=\frac{\varepsilon_0 w}{d}\big(L+(K-1)x\big).
Derivando em relação a x:
\frac{dC}{dx}=\frac{\varepsilon_0 w}{d}(K-1).
Aplicando a fórmula da força:
F=\frac{1}{2}V^2\frac{dC}{dx} =\frac{1}{2}V^2\cdot\frac{\varepsilon_0 w}{d}(K-1).
Substituindo w=A/L (caso prefira escrever em termos de A e L):
F=\frac{1}{2}\varepsilon_0 (K-1)\frac{A}{dL}V^2.
Observações:
  • A força é independente da posição x: constante enquanto o dielétrico desliza.
  • Para K>1 a força puxa o dielétrico para dentro (sentido que aumenta x).

Passo 7

Força no caso do dielétrico avançando ao longo da separação (camadas em série). Aqui a coordenada de inserção será a espessura t do dielétrico que está entre as placas ( 0\le t\le d). A área é inteira A.
Capacitância quando a espessura inserida é t:
  • A camada dielétrica tem espessura t e permissividade K\varepsilon_0.
  • A camada de vácuo tem espessura d-t e permissividade \varepsilon_0.
    Sendo capacitores em série,
\frac{1}{C(t)}=\frac{t}{K\varepsilon_0 A}+\frac{d-t}{\varepsilon_0 A} =\frac{1}{\varepsilon_0 A}\big(d-t+t/K\big).
Logo
C(t)=\frac{\varepsilon_0 A}{d-t+t/K}.
Derivando:
\frac{dC}{dt}=\varepsilon_0 A\cdot\frac{d}{dt}\Big(\frac{1}{d-t+t/K}\Big) =\varepsilon_0 A\cdot\frac{-( -1+1/K)}{(d-t+t/K)^2} =\varepsilon_0 A\frac{K-1}{K}\cdot\frac{1}{(d-t+t/K)^2}.
Aplicando F=\tfrac{1}{2}V^2 dC/dt:
F(t)=\frac{1}{2}V^2\varepsilon_0 A\frac{K-1}{K}\cdot\frac{1}{(d-t+t/K)^2}.
Valor no ponto em que o dielétrico ocupa metade da distância ( t=d/2):
  • Calcule d-t+t/K=d-\tfrac{d}{2}+\tfrac{d}{2K}=d\left(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2K}\right)=\frac{d(K+1)}{2K}.
  • Então
F\big(t=\tfrac{d}{2}\big) =\frac{1}{2}V^2\varepsilon_0 A\frac{K-1}{K}\cdot\frac{1}{\big(\dfrac{d(K+1)}{2K}\big)^2} =\frac{2\varepsilon_0 A V^2\,K(K-1)}{d^2 (K+1)^2}.
Interpretação:
  • Também aqui, para K>1, F>0: o dielétrico é puxado para dentro (aumentar t aumenta C).
  • A força varia com t neste caso (não é constante).

Passo 8

Resumo físico e observações finais (rápidas):
  • Preencher metade da área → associação em paralelo → C_{\text{area}}=\dfrac{\varepsilon_0 A}{d}\dfrac{K+1}{2}.
  • Preencher metade da separação → associação em série → C_{\text{thick}}=\dfrac{\varepsilon_0 A}{d}\dfrac{2K}{K+1}.
  • Para K>1, C_{\text{area}}>C_{\text{thick}}.
  • Força geral com bateria ligada: F=\dfrac{1}{2}V^2\,dC/dx. Aplicada aos dois casos:
    • inserção lateral (metade da área): F=\dfrac{1}{2}\varepsilon_0 (K-1)\dfrac{w}{d}V^2, com A=Lw (ou F=\dfrac{1}{2}\varepsilon_0 (K-1)\dfrac{A}{dL}V^2);
    • inserção ao longo da separação (metade da distância, no ponto t=d/2):
F=\frac{2\varepsilon_0 A V^2\,K(K-1)}{d^2 (K+1)^2}.
Força puxa o dielétrico para dentro em ambos os casos quando K>1.

Resposta

(A) Se o dielétrico ocupa metade da área (mesma espessura d), os dois subcapacitores ficam em paralelo e
C_{\text{area}}=\frac{\varepsilon_0 A}{d}\cdot\frac{K+1}{2}.
Se o dielétrico ocupa metade da distância entre placas (duas camadas de espessura d/2), os subcapacitores ficam em série e
C_{\text{thick}}=\frac{\varepsilon_0 A}{d}\cdot\frac{2K}{K+1}.
Além disso, para K\neq1 vale C_{\text{area}}>C_{\text{thick}} (igualdade só em K=1).
(B) Fórmula geral com bateria conectada: F=\dfrac{1}{2}V^2\,\dfrac{dC}{dx}.
  • Inserção lateral (dielétrico cobrindo comprimento x de L, área A=Lw):
C(x)=\frac{\varepsilon_0 w}{d}\big(L+(K-1)x\big),\qquad F=\frac{1}{2}\varepsilon_0 (K-1)\frac{w}{d}V^2 =\frac{1}{2}\varepsilon_0 (K-1)\frac{A}{dL}V^2.
(esta força é constante durante o deslizamento).
  • Inserção ao longo da separação (espessura inserida t, área A):
C(t)=\frac{\varepsilon_0 A}{d-t+t/K},\qquad F(t)=\frac{1}{2}V^2\varepsilon_0 A\frac{K-1}{K}\frac{1}{(d-t+t/K)^2}.
Em particular, para t=d/2:
F\Big(t=\frac{d}{2}\Big)=\frac{2\varepsilon_0 A V^2\,K(K-1)}{d^2 (K+1)^2}.

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